四川省内江市威远中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120
分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A B. C. D.
8. 定义在 R 上的奇函数 ，满足 ，且当 时，不等式 恒成立，则函
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数 的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题（本题共 3 个小题，每题 6 分，有多个选项，共 18 分）
9. 下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数
C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数
10. 已知 为坐标原点，点 ， ， ，
，则（ ）
A. B.
C D.
11. 若 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92 分）
二.填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12. 已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____.
13. 已知 为数列 的前 项和，若 ，则 ______．
14. 已知实数 a，b， ，设 ， ， 这三个数的最大值为 ，则 的最
小值为__________.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
16. 已知函数 ， ．
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（1）证明：直线 与曲线 ， 均相切；
（2）从下面①②两个函数中任选一个，记为 ，使得 有最大值，并求 的最大值．
① ；② ．
17. 已知函数 为数列 前 项和.
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 前 项和为 ，证明： .
18. 已知函数 ．
（1）求 在 上的最值；
（2）求 的单调递减区间；
（3）若 ，对 成立，求 a 的取值范围．
19. 在数字通信中，信号是由 0 和 1 组成 序列．由于随机因素的干扰，发送的信号 0 或 1 有可能被错误地
接收为 1 或 0．已知发送信号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 和 （ ）；发送信号 1 时，接
收为 1 和 0 的概率分别为 和 （ ）．假设发送信号 0 和 1 是等可能的．
（1）若 ，现发送信号 3 次，记其中接收为正确信号的次数为 ，求 的数学期望 和方差
；
（2）随机变量 的分布列为 ，记事件 （ ）发生后给我
们的信息量为 ，则称 （ ）为 的信息熵．设发送信号 1
次，接收为正确信号的次数为 ，求 的信息熵 的最大值；
（3）若 ，发送信号 次，设 为出现 0 的总次数， 为第 次出现 1 的次数（0 或 1 次），记
表示发送信号 次，0 恰好出现 次且第 次出现 1 的次数为 的概率，如 时，
．对于随机变量 ，记其合并熵为
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，且 ．证
明：当 时， ．
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