四川省绵阳南山中学2026届高三上学期10月月考（绵阳一诊热身考试）数学试卷（Word版附解析）

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共 6 页．满分 150 分，时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级，姓名用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用 2B 铅
笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用 铅笔填涂在答题卡对应题目位置，非选择题用黑色墨迹签字笔书写在答题卡
的对应框内，超出答题区域书写的内容无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求解计划是先求解集合 中不等式，确定集合 的元素，再根据交集的定义求出 ，最后得
出 中元素的个数.
【详解】集合 由满足 的自然数 组成，
又 ，
所以满足 的自然数的 ，故集合 ，
集合 ，
所以 ，包含 个元素.
故选：B.
2. 若命题 “ ，都有 ”，则命题 的否定为（ ）
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
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【答案】C
【解析】
【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题 的否定为“ ，使得 ”.
故选：C.
3. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据函数零点排除 B，C 选项，然后再根据函数单调性进行判断即可.
【详解】令 ，解得 或 ，
由此可得函数存在两个零点，因此可以判断 B，C 选项错误；
对函数求导得 ，
所以当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， ，故 上单调递增；
根据函数单调性可知：A 选项正确，D 选项错误.
故选：A
4. 若 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. 16 B. 25 C. 4 D. 5
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【答案】D
【解析】
【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值是 5.
故选：D
5. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数 在闭区间 上连续，
在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得
称为函数 在闭区间 上的中值点．若关于函数
在区间 上的“中值点”个数为 m，函数 在区间 上的“中值点”的个数为 n，
则有 （ ）（参考数据： ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解．
【详解】设函数 在区间 上的“中值点”为 ，由 ，得 ，
则由拉格朗日中值定理得， ，即 ，
而 ，则 ，即函数 在区间 上的“中值点”的个数为 1，因此 ，
设函数 在区间 上的“中值点”为 ，由 ，求导得 ，
由拉格朗日中值定理得， ，即 ，
令函数 ， ， 在 上单调递增，
， ，
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则 上有唯一零点，即方程 在区间 上有 1 个解，
因此函数 在区间 上的“中值点”的个数为 1，即 ，所以 ．
故选:B．
6. 已知 为数列 的前 项和，若 ，则 等于（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 0 D. 1013
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，结合已知条件，得到数列 的递推关系.利用累乘法求得 ，代入
2027 求得 ；或先求出 ，再求得 .
【详解】因为 ，所以
即 .
所以 .
因为 ，所以 .
所以 …… .
由累乘法得： .
所以 ， ， ，
所以 .
方法二：
因为 ，所以 .
两式相减，得 ，即 .
由 ，得 .
所以 .
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所以 .
故选：D.
7. 2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为 1000PetaFLOPS
（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长 ．截止至 2025 年，其算力已提
升至 2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首次突破
7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 年 B. 年
C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】利用归纳可知，从 年起，到第 年，DeepSeek 的算力提升至 PetaFLOPS，
解不等式 ，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至 2025 年，DeepSeek 算力已提升至 2250PetaFLOPS，
到 年，其算力提升至 PetaFLOPS，
到 年，其算力提升至 PetaFLOPS， ，
以此类推可知，从 年起，到第 年，DeepSeek 的算力提升至 PetaFLOPS，
由 ，可得 ，
所以， ，
所以，DeepSeek 的算力预计在 年首次突破 PetaFLOPS，
故选：C.
8. 已知函数 ，若函数 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 在 上的范围，再结合函数的最值分 、 两种情况讨论.
【详解】当 时， ，
函数 有最小值，则最值必在 上取得，且其最小值小于等于 ，
若 ，则 ，得 ，
若 ，则 ，得 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已 知 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 数列 是递增数列
C. 存在正整数 ，使得
D. 存在正整数 ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】由等差数列与等比数列项之间的关系建立方程组，求得公差和公比，即可判断 A 选项，写出数列
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通项公式即可判断 B 选项.将 作差，然后构造函数，由导数得到函数在 的单调性，结合
端点的正负即可证明函数零点，即方程的解，判断 选项.由等式建立方程然后解 的值，判断 选项.
【详解】∵ ，
∴ ，整理得 ，
∵ ，∴ ，则 ，A 选项正确，
， ，B 选项正确，
∵ ，令 ，
∵ ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增，且 ，
∴函数 在 无零点，即不存在正整数 ，使得 ，C 选项错误，
，即 ，解得 ，
∴存在正整数 ，使得 ，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，结合项之间的关系建立方程组，然后得数列相关的量.对于是否
存在正整数使得等式成立问题，可以由解方程证明存在，或者利用函数零点来判断方程得解.
10. 将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．则下列说法正确的是（ ）
A. 若 时， 为奇函数
B. 若 最小正周期为 ，则
C. 若 ，则函数 在 内有 3 个极值点
D. 若函数 在 恰有 3 个零点，则 的取值范围是
【答案】BCD
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【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得 的表达式，然后根据函数的奇偶性、周期性、极值点、零点等知
识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】函数 向左平移 个单位长度，得到 ，
再将所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到 .
选项 A：当 时， ，
， ，故 不是奇函数，A 错误.
选项 B：若 的最小正周期为 ，由周期公式 ，可得 ，解得 ，B 正确.
选项 C：当 时， ，令 （ ），则 ，
解不等式 ，即 ，得 ，
对应 、 、 ，均在 内，共 3 个极值点，C 正确.
选项 D：令 （ ），得 ，
要使 在 内恰有 3 个零点，需满足 且 ，即 且 ，
解得 ，D 正确.
故选：BCD
11. 已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
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【解析】
【分析】通过不等式放缩为同结构函数，利用单调性可判断选项.
【详解】因为 ，所以 ，
，
令 ， ，所以 为增函数，即有 ，
所以 ，即 .
令 ， ， 为减函数，所以 ，A 正确.
由 A 可知， 为减函数，若 成立，则 ，即 ，
当 取接近 1 的数时，上式不成立，比如， 时，左式 ，而右式 ，
B 错误.
令 ， ，
令 ， ，所以 为减函数，所以 ，
即 ， 为减函数.
，
即 ，所以 ，C 正确，D 错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 计算 ___________（填具体数字）．
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【答案】9
【解析】
【分析】利用恒等式 求解可得.
【详解】 .
故答案为：9
13. 已知 是定义在 上且周期为 2 的奇函数，当 时， ，则
___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解.
【详解】
，
故答案为：
14. 已知 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分析出 ， ，且不同时取最大值 1，设 ，将此式平方
与已知条件进行平方后相加，可得 ，再进行验证即可.
【详解】因为 ， 的最大值均为 1，
且 ，①
所以 ， ，且不同时取最大值 1，
设 ，②
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由①2+②2
得 ，
即 ，
所以 ，
当 时，等号成立;
当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，
由 ，
可得 ，
平方得， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
综上，当 ， 时， 取最小值，为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的部分图象如图所示．
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（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，求使 成立的 的取值．
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的周期公式，结合函数图象的最高点确定出解析式中的参数 ，即可求得
的解析式；
（2）利用三角函数恒等变换公式求得 ，然后运用正弦函数的性质解方程
即可得求解．
【小问 1 详解】
由题： 的周期 ，得 ，
当 时， 取得最大值，
可得 ，即 ，
结合 ，可得 ，所以
【小问 2 详解】
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，
令 ，得 ，
所以 或 ，
可得 的取值集合为 或 .
16. 已知数列 的首项 ，且满足
（1）求证： 为等比数列；
（2）设 ，记 的前 项和 ，求满足 的最小正整数 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）10
【解析】
【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法及等比数列的前 项和公式可得
，可得 为递增数列，由 即可求解.
【小问 1 详解】
，
是以 1 为首项， 为公比的等比数列；
【小问 2 详解】
由（1）得 ，即 ，
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所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 为递增数列，又 .
所以满足 的最小正整数为 10.
17. 已知函数 图象的一条对称轴为 ．
（1）求 的最小值；
（2）当 取最小值时，若 ，求 的值．
【答案】（1） 的最小值为 1．
（2）
【解析】
【分析】（1）变形化简为 ，再由 进行求解；
（ 2） 由 （ 1） 知 ， 得 ， 则
进行求解．
【小问 1 详解】
由题意得
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．
因为函数 的一条对称轴为 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，
所以 的最小值为 1．
【小问 2 详解】
由（1）知 ．
．
．
．
18. 拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设 是函数 的
导函数， 是函数 的导函数．若方程 有实数解 ，并且在点 左右两
侧二阶导数符号相反，则称 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心．已知三
次函数
（1）过点 作曲线 的切线，求切线方程：
（2）若对于任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）已知函数 ，其中 ．求 的拐点．
【答案】（1） 或 ．
（2） 且
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（3）
【解析】
【分析】（1）设切点 ，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求 ，再利用点斜
式求切线方程；
（ 2） 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 作 函 数 的 大 致 图 象 ， 由 时 ，
成立，可得 ，求函数 的对称中心，利用对
称性化简可得 ，结合图象进一步化简，由此可求结论，
（3）由条件结合导数运算法则可得 ，令 ， ，利用
导数研究函数 的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论.
【小问 1 详解】
因为 ，故可设切点为 ， ，
所以 ，
整理得：
解得： 或 ，
当 时，切点为 ，切线斜率为 ，故切线方程为 ，
当 时，切点 ，切线斜率为 ，切线方程为 ，
故切线方程为： 或 ．
【小问 2 详解】
，当且仅当 时， ，
由（1） ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
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当 时， ，函数 在 上单调递增，
又由 可得， ， ，
作函数 的大致图象如下，
所以 ，
要使 恒成立
当 即 时， 恒成立，
即 ，且 ，
所以
当 时，由 恒成立，
得 （*），
因为 ，所以 ， ，
令 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
由题干可得函数 的图象关于点 对称，
所以 ，
所以不等式（*）为 ，
因为 ，结合图象可得 ，
所以 恒成立，
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，所以 ．
综上， 且
【小问 3 详解】
，
由于 ，故 ，即 的定义域为 ，
，
，
令 得， ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
故 ，即 时，满足 ，
当 时， ，
故 的拐点为
19. 已知函数 的导函数为 ．．
（1）若对于任意的 ，都有 ，求实数 的最小值；
（2）若 有三个不同的零点，求实数 的取值范围：
（3）已知 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ，且满足
，求实数 的取值范围．
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【答案】（1）0 （2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）通过参变分离，得到 ，构造函数 ，通过求导，确定最值即可
求解；
（2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参；
（3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参.
【小问 1 详解】
在 恒成立， ，
，令 ，
取 ，
在 单调递增， ，
，满足 ，
在 单调递减，在 单调递增，
．
【小问 2 详解】
由题知， ，
因为 有三个不同的零点，
所以方程 有三个不等实根，
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化简可得方程 有三个不等实根，
即可看成直线 与曲线 有三个不同的交点，
，
所以当 或 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以当 时， 有极小值为 ，
当 时， 有极大值为 ，
当 时， ，且当 时， ，
所以作出函数 的图象如图 1 所示，
所以数形结合可知 ，即实数 的取值范围为 ．
【小问 3 详解】
由题知， ，其定义域为 ，
则 ，
令 ，得 或 ，
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设 ，则 ，
当 时， ，所以 单调递增；
当 时， ，所以 单调递减，
又当 时， ；当 时， ，且 ，
所以 的大致图象如图 2 所示，
因为 在定义域内有三个不同的极值点 ，
所以 与 有两个不同的交点，所以 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ，所以
所以
，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，
第 21页/共 22页
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围是 ．
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