四川省绵阳市南山中学2026届高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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测试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题.（共 40 分）
1. 若 ，则 的一个充分不必要条件为 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ， 是直线 上两动点，且 ，点 ， ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D. 12
6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把 个面包分给 个人，
使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A B. C. D.
7. 记 ， ，则
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（ ）
A. B. C. 0 D.
8. 在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
二、多选题.（18 分）
9. 设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 点到焦点的距离为 3，则 的坐标为 .
C. 若 ，则 的最小值为 .
D. 过焦点 作斜率为 2 的直线与抛物线相交于 ， 两点，则
10. 如图，在三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 上的点，且 ，
.设 ， ， ，且均为单位向量，若 ，
则下列说法中正确的是（ ）
A. 与 的夹角为
B.
C.
D.
11. 如图，一个质点在随机外力 作用下，从原点 O 出发，每隔 1 秒等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动 6 次，设质点位于点 n 的概率为 .则下列结论正确的是（ ）
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A. B.
C. 若出发点改变，其余不变，则 不变 D. 若出发点改变，其余不变，则 不变
三、填空题.（15 分）
12. 等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 __________
13. 已知函数 是定义在 上的偶函数， 是 的导函数，且 .若
在 上恒成立，则实数 的取值范围为_____.
14. 已知椭圆 的左､右顶点分别为 是 在第一象限的图象上的点，记
，若 ，则椭圆 的离心率 __________.
四、解答题.（77 分）
15. 已知等差数列 的前 n 项和为 ， ．
（1）求 通项公式；
（2）令 ，求证：数列 为等差数列﹒
16. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）①若 恒成立，求 最小值；
②证明： ，其中 .
17. 在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 底面
， ，且 ， 分别为 ， 的中点，
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（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .过椭圆 上的点 作圆
的两条切线，其中一条切线与椭圆 相交于点 ，与圆 相切于点 ，两条切线与 轴分别交于 两点
.
（1）求椭圆 的方程；
（2） 是否为定值，若是，请求出 的值；若不是，请说明理由：
（3）若椭圆上点 ，求 面积的取值范围.
19. 在信息理论中， 和 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为： ，
， ， ， ， .定义随机变量 的信息量
， 和 的“距离” .
（1）若 ，求 的分布列和 ；
（2）已知发报台发出信号为 0 和 1，接收台收到信号只有 0 和 1.现发报台发出信号为 0 的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号 0 接收台收到信号为 0 的概率为 ，发出信号 1 接收台
收到信号为 1 的概率为 .
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（ⅰ）若 ， ，求接收台收到信号为 1 的条件下，发报台发出信号为 1 的概率；
（ⅱ）记随机变量 和 分别为发出信号和收到信号，证明： .
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