浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸，选择题部分．
一、单项选择题：每小题 5 分，共 40 分．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
由直线方程可知直线的斜率 ，
即 ，可得 ，
所以直线 倾斜角为 .
故选：D.
2. 已知圆的方程为 ，则该圆的半径为（ ）
A. B. 3 C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程配方成标准方程，即得圆的半径.
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【详解】由 配方，可得 ，故该圆的半径为 3.
故选：B.
3. 如图，在平行六面体 中，若 ，与 相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算，准确化简，即可求解.
【详解】在平行六面体 中，由 ，
根据空间向量的线性运算法则，可得 .
故选：C.
4. 曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图像，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.
【详解】由题意可得，
曲线 的图像为以 为圆心，2 为半径的半圆，
直线 恒过 ，
根据题意画出图形，如图所示．
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由图可知当直线 l 与半圆相切时，圆心到直线 l 的距离 ，
即 ，解得 ；
当直线 l 过 点时，直线 l 的斜率 ，
则直线 l 与半圆有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为 .
故选：B
5. 空间四边形 中， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解.
【详解】在空间四边形 中， ，
则
，
所以 .
故选：D
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6. 方程 表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据充要条件的定义，结合两直线交点的求法、代入法进行求解即可.
【详解】 ，或 ，
由 ，
直线 ，和直线 的交点为 ，
把 代入 中，得 ，
显然直线 ，直线 ，直线 是三条不同的直线，
故选：A
7. 在空间直角坐标系 中，已知 ，点 在直线 上运
动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用 表示出点 Q 坐标，再求出 ， 的坐标，借助数量积的坐标运算建立函数关系
求解.
【详解】因点 Q 在直线 上运动，则 ，设 ，于是 ，
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因为 ， ，所以 ， ，
因此 ， ，
于是得
，
当 时， ，此时点 ，
所以当 取得最小值时，点 Q 的坐标为 .
故选：D
8. 在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ．设圆 的半径为 ，圆心在 上．若圆
上存在点 ，使 ，则圆心 的横坐标 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆 的方程，再利用 求得点 M 满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点
列出关于 a 的不等式求解即求得 a 的范围.
【详解】由圆心 C 的横坐标为 a，得圆心 C 的坐标为 ，
则圆 的方程为 ，
设 ，由 ，得 ，
整理得 ，因此点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
依题意，圆 与圆 有公共点，则 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
所以圆心 的横坐标 的取值范围为 .
故选：C
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二、多项选择题：每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．
9. 直线 过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为 12，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可.
【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为 12，则直线 在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
设直线 在 轴上的截距分别为 ，则方程为 ，且 ，
又因为直线 过点 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
故所求直线的方程为 或 ，
即 或 .
故选：BD
10. 已知圆 C： 和直线 l： ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，直线 l 被圆截得的弦长为
B. 当 时，圆上到直线 的距离为 1 的点有 3 个
C. 存在实数 ，使得直线 与圆相切
D. 若直线 与圆相交，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于 B，由选项 A 知圆心到直线的距离为
，从而有 ， ，数形结合，即可求解；对于 C 和 D，利用直线与圆的
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位置关系，即可求解.
【详解】由 得 ，所以圆 的圆心为 ，半径为
，
对于 A，当 时，直线 l： ，圆心到直线的距离为 ，
所以直线 l 被圆截得的弦长为 ，故 A 正确，
对于 B，由选项 A 知圆心到直线的距离为 ，又 ，
则 ， ，
所以由图可知，圆上到直线 的距离为 1 的点有 个，故 B 错误，
对于 C，由 ，得到 ，解得 或 ，
所以当 或 时，圆心到直线的距离等于半径，
即存 实数 ，使得直线 与圆相切，所以 C 正确，
对于 D，因为直线 与圆相交，则 ，整理得到 ，
解得 ，所以 D 正确，
故选：ACD.
11. 已知四棱锥 ，平面 平面 ，侧面 是边长为 的正三角形，底面
为正方形，点 是侧棱 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当 时，三棱锥 的体积为 2
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C. 若 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为
D. 若 为 的中点，当 平面 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】若 为 的中点，根据等边三角形、正方形、面面垂直的性质及线面垂直的判定和性质判断证
明 A；根据已知有 到平面 的距离是 到平面 的距离 的 2 倍，结合 平面 及
棱锥的体积公式计算判断 B；连接 交 于 ，则 是 的中点，找到异面直线夹角的平面角，根据
已知求其余弦值，进而得到正弦值判断 C； 且 是 中点，连接 ，且 必过 ，
即 是 的中点，连接 ，进而证明 平面 ，再由已知求得
，应用差角正弦公式求 ，最后应用等面积法得到
比例判断 D.
【详解】若 为 的中点， 为等边三角形，则 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ，
由底面 为正方形，则 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ，A 对，
当 ，故 到平面 的距离是 到平面 的距离 的 3 倍，
由 平面 ，则 ，而等边 的边长均为 ，则 ，
所以 ，又底面 为正方形的边长也为 ，则 ，
所以 ，B 对，
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当 为 的中点，连接 交 于 ，则 是 的中点，故 且 ，
如下图，所以异面直线 与 所成角为 或其补角，而 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，同理 ，
而 ，所以 ， ，则 ，
则 ，则 ，C 错，
若 为 的中点，连接 ，则 必过 ，即 是 的中点，
若 ，连接 ，其中 ，
且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 是 的中点，则 是 中点，
在 中 ，则 ， ，
由 ，
由 ， ，
而 ，则 ，D 对.
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故选：ABD
非选择题部分
三、填空题：每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ，且 与 互相垂直，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标运算公式列方程即可求解.
【详解】已知向量 ，则
又 与 互相垂直，
所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 过圆 外一点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得 ，由勾股定理得 ，最后通过等面积法即可得出结
果.
【详解】结合题意，作图如下：
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圆 圆心 ，半径 ， ，
则 ， ，
由圆的对称性可知 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知直线 与 ，过点 的直线 被 截得的线段恰好被点 平分，
则这三条直线 围成的三角形面积为_________．
【答案】6
【解析】
【 分 析 】 设 直 线 与 直 线 的 交 点 分 别 为 ， 且 ， 则 ， 代 入 直 线
，即可得点 的坐标，则可算出 和直线 的方程，再求 的交点到 的距离，最
后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】设直线 与直线 的交点分别为 ，且 ，
则由题意可知，点 关于点 的对称点 在 上,
可得 ，解得 ，
即 ，则 ，且直线 ，
联立 的方程得 ，解得 ，即 的交点坐标为 ，
则点 到直线 的距离 ，
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所以这三条直线 围成的三角形面积为 ．
故答案为：6．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知两直线 ， ．
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线 的直线方程；
（2）已知两点 ， ，
①判断直线 与以 A，B 为直径的圆 D 的位置关系；
②动点 P 在直线 运动，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）①相离；②
【解析】
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点 的对称点，利用两点之间线
段最短可求答案.
【小问 1 详解】
联立方程 ，解得 ；
因为所求直线垂直于直线 ，所以所求直线的斜率为 ，
故所求直线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
①以 、 为直径 圆的方程为 ，
整理得 ，故该圆的圆心为 ，半径为 ，
故圆心到直线 的距离为 ，
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故直线 与圆 的位置关系为相离.
②设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，即 ；
则 ,
故 的最小值为 .
16. 已知直线 经过点 ．
（1）若 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线 的方程；
（2）若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， 为坐标原点，设 的面积为 S，求 S 的
最小值及此时直线 的方程．
【答案】（1） 或
（2）24，
【解析】
【分析】（1）分类讨论截距是否为 0，结合截距式计算即可；
（2）设 坐标，根据截距式结合基本不等式计算即可.
【小问 1 详解】
若截距为 0，则该直线方程为 ；
若截距不为 0，不妨设 轴上的截距为 ，则 轴上的截距为 ，
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该直线方程为 ，将点 代入解得 ，即 ，
综上直线 的方程为 或 ；
【小问 2 详解】
由题意可设 ，则 ，且 ，
由基本不等式可知 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时取得最小值，此时 .
17. 已知直三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，且 ， 、 、
分别为 、 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，可证得四边形 为平行四边形，所以 ，根据线面平行 判定
定理可证得结论；
（2）由题意可得 ， ，从而 平面 ，所以 ．设
，可求得 ，根据勾股定理得 ，所以 平面 ，进
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而可得结论；
（3）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面 与平
面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可．
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ， ．
因为 P 为 中点，Q 为 中点，所以 且 ，
又因为 M 为 中点，且直三棱柱中， ，
则 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
由于 平面 ， 平面 ，可得 平面 ．
【小问 2 详解】
因为 为等腰直角三角形， ， 为 的中点，所以 ，
因为直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
设 ，
则 ．
在直角 中， ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
所以 ，根据勾股定理得 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
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因为 平面 ，所以平面 平面 ．
【小问 3 详解】
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
则 ．
设二面角 的平面角为 ， ，
所以 ．
18. 已知 顶点坐标分别为 ．
（1）求 的外接圆 的方程；
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（2）设点 ，若圆 上存在点 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（3）设斜率为 的直线 与圆 交于 两点（不与原点 重合），直线 斜率分别为 ，且
，证明：直线 恒过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出参数值，即得圆的方程；
（2）设 ，利用 可得点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆，由
题意知圆 与圆 有公共点，故得 ，求解即得参数 的取值范围；
（3）设直线 的方程为 ，与圆的方程联立，写出韦达定理，结合 ，推出 ，
依题排除 ，得 ，将其代入直线方程即可求得定点.
【小问 1 详解】
设圆的一般方程为： ，
依题意，有 ，解得 ，
故 的外接圆圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ，由 代入点的坐标，可得
，
整理得 ，易得 ，
则点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆(当 时为点，看作半径为 0 的圆).
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依题意，圆 与圆 有公共点.
圆 的方程化为标准方程 ，圆心 ，半径为 2，
而 ，
所以 在圆 外，所以 ，
解得
即实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
依题意，设直线 的方程为 ，
由 联立消去 ，可得 ，
则由 可得 ，
设 ，则 （*），
则 ，
即 ，
将（*）式代入整理上式得： ，故得 或 .
当 时，直线 经过原点，不合题意；
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当 时，直线 经过定点 .
19. 定义：若一个四面体 的两组对棱分别相等（即 ），则称该四面
体为空间菱形．已知空间菱形 中， ．
（1）若平面 平面 ，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，求该空间菱形 的体积；
（3）若 ，那么在棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求
出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直与直二面角的关系，结合题中定义、等腰三角形的性质进行运算证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判定定理、棱锥的体积公式进行求解即可；
（3）把空间菱形 补成长方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
设 中点为点 ，连接 ，
因为四面体 为空间菱形．
所以 ，
根据等腰三角形的性质可知： ，
所以 是二面角 的平面角，
当平面 平面 时，有
由 ， ，
可得 ，
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因为 ，
所以有 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
由（1）可知 ，所以 ，
所以空间菱形 的体积为 ；
【小问 3 详解】
把空间菱形 放在长方体 中，如下图所示：
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，
由长方体的性质可得： ，
于是 ，
设棱 上存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，设 ，
设 ，则有 ，
所以 ， ，
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设平面 的法向量为 ，
于是有 ，
设平面 的法向量为 ，
于是有 因为平面
与平面 的夹角为 ，
所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
因此棱 上存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，此时 .