浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高一上学期第二次联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
I 卷 选择题部分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的定义即可求解.
【详解】由交集的定义可知 .
故选：C
2. 设命题 ，则 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】命题 是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论，而不是否定条件，
所以 A 选项正确.
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故选：A
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的包含关系即可判断.
【详解】由 可得 ，
显然 ，
所以“ ”是“ 必要不充分条件.
故选：B
4. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 分析函数 的单调性，并根据零点存在定理可确定函数 的零点所在区间.
【详解】函数 的定义域为 .
因为函数 是增函数，且 在 和 上分别单调递增，
所以 在 和 上分别单调递增.
当 时， 恒成立，所以无零点；
当 时， ， ，所以函数 的零点所在区间为
.
故选：B.
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5. 下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、值域对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项， 的定义域是 ，值域是 ，不符合题意.
B 选项， 的定义域和值域都是 ，符合题意.
C 选项， 定义域是 ，值域是 ，不符合题意.
D 选项， 的定义域和值域都是 ，符合题意.
故选：BD
6. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析 的取值范围，从而求解．
【详解】 ，底数 ，
对数函数 单调递减，
又 ， ，
，底数 ，
指数函数 单调递增，
又 ， ，
，底数 ，
指数函数 单调递减，
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又 ， ．
，
故选：C．
7. 函数 （其中 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案.
详解】对于函数 ，
由 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 D 选项错误.
，由于 ，
所以 ，所以 C 选项错误.
，所以 B 选项错误.
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故选：A
8. 已知奇函数 的定义域为 ，且 在 上单调递增．若存在 ，使得
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得 ，再将存在问题转化为
最值问题进行求解即可.
【详解】由函数 为 上的奇函数，
则 ，
又 在 上单调递增， 则 在 上单调递增，
则 ，
则 ，使得 ， ，使得 ，
即 ，在 有解，
则 ， ，
令 ，则 ，
又 ，则 ， ，
即 ，则 ，
故选：B.
点睛】方法点睛：
分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端
是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下：
（1）分离参数(注意分离参数时自变量 的取值范围是否影响不等号的方向)．
（2）转化：①若 对 恒成立，则只需 ；
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②若 对 恒成立，则只需 ；
③若 ，使得 有解，则只需 ；
④若 ，使得 有解，则只需 .
（3）求最值．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分．有选错的得 0 分．
9. 下列各角中，与 终边相同的角为（ ）
A. B. C. 370° D. 380°
【答案】AD
【解析】
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.
【详解】与 终边相同的角为 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 AD 选项正确，BC 选项错误.
故选：AD
10. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的解集为
C. D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式对应方程根与系数的关系得到 ， ， ，再代入不等式依次计算得到
答案.
【详解】关于 的不等式 的解集为 或 ，
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故 ，且 ，整理得到 ， ，
对选项 A： ，正确；
对选项 B： ，即 ，解得 ，正确；
对选项 C： ，错误；
对选项 D： ，即 ，即 ，
解得 ，正确.
故选：ABD
11. 高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数
，其中不超过实数 的最大整数称为 的整数部分，记作 ，如 ，
，记函数 ，则（ ）
A.
B. 的值域为
C. 在 上有 3 个零点
D. ，方程 有两个实根
【答案】AD
【解析】
【分析】根据高斯函数的概念，分段可作出函数的图象，数形结合，逐项判断即可.
【详解】对 A： ，故 A 正确；
对 B：当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；…
依次类推，可得函数 的图象如下：
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所以函数 的值域为： ，故 B 错；
对 C：根据图象，在 上，只有 ，即 在 上有 2 个零点，故 C 错；
对 D： ，函数 与 的图象有两个交点，如下图：
所以 ，方程 有两个实根，故 D 正确.
故选：AD
II 卷 非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设函数 ，若 ，则 ___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，由此求得 的值.
【详解】若 ，则由 ，解得 .
若 ，则由 ，解得 .
所以 或 .
故答案为： 或
13. 已知幂函数 的图象关于 轴对称，则不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
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由题意得 ，解方程可得 或 ，由于此函数的图象关于 轴对称，所以可得
，从而可得不等式为 ，解不等式可得答案
【详解】因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
又因为 的图象关于 y 轴对称，所以 ，
原不等式整理得 ，解得 ．
故答案为：
14. 已知 ， ，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得到 ，进而可得 ，再利用基本
不等式，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ．
（1）若 ，求 ；
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（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定 时集合 的范围，求出其补集后与 求交集；
（2）将 转化为 ，通过集合端点的包含关系列不等式组求解.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
又 ，故 .
【小问 2 详解】
由 ，得到 ，需满足 ， ，且 ，
解得 ， ， ，
综合得 ，故 的取值范围是 .
16. 求下列各式的值
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数、根式运算求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
小问 1 详解】
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.
【小问 2 详解】
.
17. 2025 年 9 月 3 日是世界反法西斯战争胜利 80 周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪
式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综
合评分” （分）与时间 （分钟， ）的关系为分段函数 ，其中
为训练水平系数， ．
（1）若 ，求 在 上的最小值；
（2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于 70，求训练水平系数 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数和基本不等式求解即可；
（2）由题意可得 恒成立，进而结合二次函数的性质讨论求解即可.
【小问 1 详解】
若 ，
当 时， 的对称轴为 ，开口向下，
则 在 上为增函数，当 时， ；
当 时， ，
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当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，故 .
因为 ，所以 在 上的最小值为 .
【小问 2 详解】
若要求整个受阅过程中最低评分不低于 70，即 恒成立，
当 时， 恒成立，即 ，则 ，
即 ，所以 ；
当 时， 恒成立，即 ，则 ，
因为 对称轴为 ，开口向下，在 上为增函数，
所以当 时， 取最大值，最大值为 ，
故 ，解得 .
综上所述， ，故训练水平系数 的最小值为 .
18. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的定义域；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，求 的
取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可；
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（2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可；
（3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出
不等式，求出参数范围.
【小问 1 详解】
由题意得 ，因式分解得 ，解得 或 ，
即函数定义域为 .
【小问 2 详解】
因 在 上单调递增，所以当
在 上单调递增时，函数 在 单调递增且 ，
因为 是对称轴为直线 ，开口向上的二次函数，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，即任意 ，
恒成立，
由 ，
当 时， ，则 ，所以 ，
可得任意 ， 恒成立，即 恒成立，
等价于 恒成立；
因为 在 上单调递增，即 在 恒成立即可，
即 在 恒成立，
由对勾函数可知 在 上单调递减，所以 ；
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可得 时 在 恒成立；
所以 的取值范围为 .
19. 若函数 在 时，函数值 的取值范围恰为 ，则称 为 的一个
“ 倍倒域区间”．已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的 2 倍倒域区间；
（3）若以函数 在 上的 2 倍倒域区间上的图象作为函数 的图象，是否存在实数 ，使
集合 恰有 2 个元素？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解；
（2）利用 的单调性求出 ， ，由“倒域区间”的定义即可求解；
（3）由题得函数 图象与函数 的图象有两个交点，对 讨论，利用根的分布求解即可．
【小问 1 详解】
当 时， ，所以 ，
为奇函数，所以 ，即
所以 ．
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【小问 2 详解】
当 时， 在 单调递减，
由题意 在 内的值域为 ，且 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ， 为方程 的两个不等实根 ， ，且 ，
所以 ，
故 在 上的 2 倍倒域区间为
【小问 3 详解】
由（2）得， ， ，
所以 ，
由题得函数 图象与函数的图象有两个交点，
当 时， 的图象开口向上，且过点 所以 的图象与函数 的两段图
象各有一个交点，
当 时，由 得 ，
令 ， ，
所以 ，得 ，
又 ，所以 ，
当 时，由 得 ，
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令 ， ，
所以 得 ，所以 ，所以
当 时，当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得方程无解．
当 时， 的图象开口向下，对称轴 ，
由题 的图象与函数 在 的图象有 2 个交点，
由 得 ，
令 ， ，
所以 ，不等式组无解．
综上所述，存在 满足条件．
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