精品解析：广东省深圳实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷含答案

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一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，2，3C. 3，4，5D. 2，3，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故不直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 如图，是一个缺角的残片，量得，则此三角形残缺的部分为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，即可选出答案．
【详解】解：∵缺角的另外的两个角，
∴，
则缺角的的残片为
故选∶B
4. 下列成语所描述事件是必然事件是（ ）
A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件．根据各成语描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，确定水涨船高是必然事件．
【详解】解：选项A：水位上涨时，船因浮力作用会随水位上升，这是必然发生的自然现象，属于必然事件．
选项B：农夫偶然捡到撞树的兔子后，继续等待类似事件发生，但这是极小概率事件，属于随机事件．
选项C：水中月亮是倒影，无法捞取，属于不可能事件．
选项D：一箭射中两只雕需要极高技巧和运气，属于随机事件．
故选：A
5. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选D．
6. 如图，已知，添加下列条件仍无法证明是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等．
由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可．
【详解】解：A、∵在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
B、∵在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
C、∵在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点P，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数
【详解】解：∵，
∴
延长交于点P，如图，
∵
∴
∴
∵
∴，
∴
故选：D
8. 如图，与有公共斜边（顶点A、D在同侧），，连接，已知，则的面积为（ ）
A. 32B. 16C. 12D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，延长，相交于点F，先得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，进而可求出，最后根据三角形面积求解即可得出答案．
【详解】解：延长，相交于点F，
∵，，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
9. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】．
故答案为：．
10. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《孙子算经》的概率是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率定义选中的次数占总次数的百分比，解题关键在于熟悉相关概念.
【详解】解：共有4种等可能的情况，恰好选中《孙子算经》的情况有1种，
∴恰好选中《孙子算经》的概率是．
故答案为：.
11. 国家卫健委发布《中国青少年健康教育核心信息及释义（2018）版》称，青少年应控制电子产品使用，非学习目的的单次使用时间不宜超过15分钟，每天累计不宜超过1小时，我市调研了部分青少年电子产品使用时间，调研结果整理如下表：
从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据频率估计概率的思想，按照精确度计算后取众数值即可得解．
本题考查了频数关键概率，熟练掌握计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，频数的众数为，
故时长超过1小时的概率为．
故答案为：．
12. 小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为___________________cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用证明得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】解：，
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：35．
13. 如图，在中，，过作于点，点为边上一点，点为边中点，连接，，若，，则__________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接，得到是等腰直角三角形，设，得到，，证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后证明出，得到，，求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接
∵，
∴是等腰直角三角形
∴设
∵，
∴四边形是长方形
∴，
∴
∵点为边中点
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减；
（2）首先计算同底数的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
，．
【解析】
【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：


当，时，原式=．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 已知，如图，，相交于点，且．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑）
（2）若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可；
（2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
由（1）得，垂直平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
17. 小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题：
（1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________；
（2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分；
（3）将下表信息补充完整：
（4）他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米．
【答案】（1）出发后的时长；离山脚的相对高度y
（2）15；20 （3）见解析
（4）60或105
【解析】
【分析】本题主要考查了用函数图象表示变量之间的关系，解答时理清函数图象的意义是解题的关键．
（1）由图即可求解；
（2）根据速度，并结合图象即可求解；
（3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可；
（4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可．
【小问1详解】
解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y；
【小问2详解】
解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为：
（米/分）；
他们下山的相对高度平均变化速度是：
（米/分）；
【小问3详解】
解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米），
出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）；
将下表信息补充完整：
【小问4详解】解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是：
（米/分），
（分钟），
即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米；
（分钟），
即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米；
综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米．
18. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号）
①： ②： ③：
（2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值．
（3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）① （2）12
（3）12
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可；
（2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可；
（3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
故选：①；
【小问2详解】
解：∵边长为，长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
19. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短．
示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图2，在等边三角形中，是的中线．
①直接写出与的数量关系__________________：
②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值；
【活动三】迁移拓展，综合应用
如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值．
【答案】活动一：A；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为．
【解析】
【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可；
活动二：①根据三线合一得到，，即可得到；
②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可；
活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可．
【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短
故选：A；
活动二：①∵在等边三角形中，是的中线
∴，
∴；
②如图所示，点F即为所求；
∵点为上一点
∴
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度
∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点，
∴；
活动三：如图所示，在上取点使，，连接
∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度
∴当时，最小
∵
∴
∴
∵
∴．
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
20. 几何探究：
已知：利都是等边三角形，连接，交于点．
（1）如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________：
②连接与的数量关系是：______________；
（2）如图2，H，G分别是，的中点，
①当时，______________；
②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由：
（3）连接，求的值．
【答案】（1）①；60；②
（2）①60；②不变；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出；
②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案；
（2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出；
②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出；
（3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出．
【小问1详解】
解：①∵利都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
②过点A作于点M，于点N，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴点A在的角平分线上，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，如图所示：
∵H，G分别是，的中点，
∴，，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②当发生变化时，的度数不变；理由如下：
连接，如图所示：
当发生改变时，同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
【小问3详解】
解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
调研总人数
500
1000
1500
2000
2500
3000
使用时长超过1小时的人数
380
759
1137
1522
1900
2280
使用时长超出规定时长人数的频率
出发后时长（分钟）
20
45
90
110
离山脚的相对高度（米）
600
800
出发后时长（分钟）
20
45
90
110
离山脚的相对高度（米）
300
600
800
600