广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A．0.5，0.5B．0.51，0.51C．0.49，0.49D．0.5，0.49
2．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件B．B与C是对立事件
C．A与C是互斥事件D．A与B是互斥事件
4．在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
6．在三棱锥中，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．0
7．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ）
A．身高在A层次中的女生人数比男生多
B．身高在B层次中的人数最多
C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%
D．身高在E层次中的男生有3人
10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A．B．
C．侧棱与底面所成角的余弦值为D．直线AM与CN所成角的正弦值为
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知事件，若，，且，则
B．已知事件，若，且与相互独立，则
C．已知事件，若，，且，则与相互独立
D．某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为
三、填空题
12．现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
13．从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为 ．
14．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ．
四、解答题
15．已知，，，，，求：
(1)的值；
(2)与夹角的余弦值.
16．在平面直角坐标系中，已知三点.
(1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；
(2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
17．为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．
18．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：
(1)的长；
(2)直线和所成角的余弦值.
19．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率；
(2)为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？
20．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
(1)求证：；
(2)为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.
21．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面 平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ， 上，且 ．
(1)证明： 四点共面；
(2)证明： 平面 ；
(3)设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
1．D
根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案.
【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，
故“正面朝上”的频率为，
每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5.
故选：D
2．A
根据空间向量的加法、减法运算得解.
【详解】
故选：A
3．B
根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；
对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；
对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；
对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.
故选：B．
4．A
先得到，从而得到，利用模长公式得到答案.
【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．
又，则，又，所以，
.
故选：A
5．B
根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解.
【详解】由于与对立，，则，
又与互斥，，则.
故选：B
6．B
结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
7．D
根据空间向量的投影向量公式计算即可.
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，
所以，，
则，
，
所以空间向量在方向上的投影向量为，
故选：D
8．A
根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，
则，，而，
因此，即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：A
9．BCD
结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，
样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，
所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；
对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，
所以样本中B层次身高人数最多，B正确；
对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确；
对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确.
故选：BCD
10．ACD
把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C.
【详解】由正四面体ABCD，可得，
对于A，，
则，
所以，故A正确；
对于B，，
则
，故B错误；
对于D，，
则，
，
设直线所成角为，
则，
所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确；
对于C，连接，在上取点，使得，连接，
则平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
则，
由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等，
所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确.
故选：ACD
11．ACD
对A，根据条件得，即可求解；对B和C，利用相互独立事件的概率公式，再结合选项条件，即可求解；对D，利用分层抽样方差计算公式，结合选项条件，直接求出方差，即可求解.
【详解】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确；
对于选项B，因为与相互独立，，则，
又，所以选项B错误；
对于选项C，因为，
又，则，
所以与相互独立，故选项C正确，
对于选项D，样本总体平均数，
总体样本的方差为，所以选项D正确，
故选：ACD.
12．704
根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案.
【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，
所以得到的第4个样本个体的编号是704.
故答案为：704
13．/
利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解.
【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为，
则试验的样本空间为，共10个样本点，
选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个，
则所求概率为．
故答案为：.
14．
首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标.
【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以．
设向量在新基底下的坐标为，
则，
即
则，解得，
所以以为基底时的坐标为．
故答案为：.
15．(1)0
(2)
（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解；
（2）由向量夹角的坐标公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
解得，，
所以，
又，则，即，得，
于是，则.
（2）由（1）得，
设与的夹角为，所以，
所以与夹角的余弦值为.
16．(1)；
(2)或.
（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程.
（2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解.
【详解】（1）由，得直线的斜率为，
由，得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即
（2）设直线在上的截距为，
当时，直线过原点及点，方程为，即；
当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，
所以直线的方程为或.
17．(1)，平均数为分，中位数为分；
(2)
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；
（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为（分），
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，中位数，由题意可得，解得（分）.
（2）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，
记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.
故所求概率为.
18．(1)
(2)
（1）先设，，，得出，利用向量数量积的运算律计算即得；
（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）如图，连接，设，，，
依题意，
而，
，
所以.
（2）连接，，
所以
，
又，，
所以，
故直线和所成角的余弦值为.
19．(1)
(2)乙
（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案；
（2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比较大小即可求解.
【详解】（1）根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，
则，，
记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，
则
．
（2）若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件，
则
；
若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则
.
因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮.
20．(1)证明见解析
(2)存在，
(3)证明见解析
（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论；
（3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论.
【详解】（1）证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，，
则、、、、，
是的中点，则，，，
，，即.
（2）假设存在使得平面，
由（1）得，，
设，其中，
则，，
因为平面，平面，
故，平面，
若平面，则只需，解得，，
故存在点，使得平面，此时.
（3）证明：因为为的重心，则，
即，可得，
因为为上一点，且，则，
因为、、、四点共面，则存在，使得，
即，
所以，
又因为，且、、不共面，
由空间向量基本定理可得，
因此为定值.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），分别是棱，的中点，，
，，
，，，，四点共面．
（2）底面ABCD是菱形，，
，是等边三角形，
取AB中点为I，连接CI，则，
又平面平面，且平面平面，
平面PAB，又PA平面PAB，，
又，且，平面，
平面．
（3）平面PBC，平面PAC，又平面PBC平面PAC，
，即直线MC就是直线PC．
取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和
AP所在直线为轴，轴和轴建立如图6所示的空间直角
坐标系：
则，，，，
，，
设，则，，
由可得：
，，
设平面EFGH的一个法向量为，
则取，则，，
，
设直线MC与平面EFGH所成角为，
则，
化简得：，解得：或，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
B
B
D
A
BCD
ACD
题号
11









答案
ACD