广东省八校联盟2025-2026学年高一上学期教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省八校联盟2025-2026学年高一上学期教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是命题“，”为真命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
8．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设全集，若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值为B．有最小值为
C． 有最小值为D．有最大值为
11．定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”.下列命题正确的是（ ）
A．方程是“和谐方程”
B．若关于的方程是“和谐方程”，则
C．若关于的方程是“和谐方程”，则函数的零点为和
D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”
三、填空题
12．已知，则的最小值为 .
13．已知集合，且，则的值为 .
14．若集合，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合，．
(1)当时，求和；
(2)若，求实数a的取值的集合．
16．设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
(1)若为真，求实数的取值范围；
(2)若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
17．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.
(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
18．设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”.
(1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；
(2)若集合是“等差集”，求的值.
19．设函数
(1)若，求的解集．
(2)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
(3)解关于的不等式：．
1．D
根据集合的并集定义进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：D
2．D
根据不等式的性质判断即可.
【详解】，，
，，
，
.
故选：D.
3．D
根据不等式的性质，将分式不等式转化为求解；或转化为，或求解即可.
【详解】由不等式的性质，等价于或.
故选：D.
方法二：
因为，所以，或.
解得，或.
故选：D.
4．A
根据全称量词命题的真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件.
【详解】由，可得对，，又因为，所以，
若，则成立，即，成立；
反之，若，成立，则，不能推出.
所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件.
故选：A.
5．A
利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可.
【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，
因此，解得．
故选：A．
6．B
直接利用不等式的性质推出结果即可．
【详解】，可得，可得，
并且，可得，
.，
可得：.
故选：.
7．A
【详解】命题“”是假命题，此命题的否定为真命题，
即：命题“”是真命题.
当时，不等式转化为恒成立，则满足题意；
当时，则有，解得.
综上可知，实数的取值范围为.
故选：A.
8．B
由新定义，列举计算即可；
【详解】当都是偶数或都是奇数时，
则或或或或或或或或；
当是偶数，是奇数时，，或；
当是奇数，是偶数时，，或；
集合中含有个元素，它的子集个数为，
故选：B
9．ABC
根据集合的包含关系得到AB正确；C选项，根据补集概念得到C正确；D选项，画出韦恩图，可得D错误.
【详解】对于A，因为集合，所以，故A正确；
对于B，因为集合，所以，故B正确；
对于C，因为集合，所以，故C正确；
对于D，因为集合，如图，①表示，
所以，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：BC
11．BCD
对于A，利用“和谐方程”的定义进行判断即可；对于B，设，利用根与系数的关系即可求出的值；
对于C，由关于的方程是“和谐方程”，利用“和谐方程”的定义得到，代入函数即可求出函数图象与轴交点的坐标；
对于D，由点在反比例函数的图象上得到，代入方程，利用“和谐方程”的定义检验是否为“和谐方程”.
【详解】对于A，，解得，，所以不是“和谐方程”，A错误；
对于B，若关于的方程是“和谐方程”，
不妨设实数解为，，且，则，，解得，B正确；
对于C，若关于的方程是“和谐方程”，
不妨设实数解为，，且，则，解得，，
由，得，则，
令，解得或，
所以函数的零点为和，C正确；
对于D，点在反比例函数的图象上，则，代入方程，
可得，解得，，
则，所以方程是“和谐方程”，D正确.
故选：BCD.
12．
求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值.
【详解】，，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
13．0
根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，，
而集合的元素具有互异性，故，所以，
故答案为：0
14．
【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由题意，集合，
若时，集合，满足题意；
若时，要使得集合，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)；；
(2)
【详解】（1）当时，，所以，
,；
（2），，
则，解得：．
故实数取值的集合为.
16．(1)
(2)
（1）利用二次函数根的判别式直接判断即可；
（2）利用根的判别式求出m的取值范围，然后再分类讨论真假关系，求取范围即可.
【详解】（1）对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根
所以，即或，
因为真，故实数的取值范围为
（2）对于命题，因关于x的方程无实数根，
所以，即．
因为真，故实数m的取值范围为．
、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假，
当真假时，，即或；
当假真时，，即．
综上所述：实数的取值范围为．
17．(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小
(2)
（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为.
因为，
当且仅当时，即，时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.
（2）由题意得，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
18．(1)或或
(2)2
（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举；
（2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解.
【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得，
所以集合中必然同时含有元素或，
则或或
（2）因为集合是“等差集”，
所以或或，
计算可得或或或或，
又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以，
经检验，当时，集合，满足题意，故.
19．(1)
(2)
(3)
答案见解析
（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集；
（2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解；
（3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果．
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为.
（2）由对一切实数恒成立，等价于恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意．
当时，则满足，即，解得，
所以的取值范围是．
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
A
A
B
A
B
ABC
BC
题号
11









答案
BCD