安徽省定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷数学试题（含答案）

这是一份安徽省定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A1,1,1，B2,-1,0，若点P与点A关于Oyz平面对称，则BP=( )
A. 14B. 13C. 2 3D. 11
2.下列说法中，正确的是( )
A. 点M3,2,1关于平面xOy对称的点的坐标是-3,2,-1
B. 若直线l的方向向量为e=1,-1,2，平面α的法向量为m=4,-4,8，则l⊥α
C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若OP=mOA-12OB+OC，则m=1
D. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为30°，则直线l与平面α所成的角为30°
3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,12B. (-∞,0)C. 12,+∞D. -∞,12
4.在平面直角坐标系中,已知直线l的方向向量为v→=(1, 33),则直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=1，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则线段AC1的长为( )
A. 5B. 3C. 5D. 3
6.直线m与直线l：x-2y+1=0平行，且直线m过点(-2,0)，则直线m和l的距离为( )．
A. 55B. 5C. 1D. 3 55
7.过点P(2,-1)的直线与圆C：(x+1)2+(y-1)2=5相切，则切线长为( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 13
8.已知F1，F2分别为椭圆x29+y23=1的左右焦点，P为椭圆上一点，若PF1=2，则PF2为( )
A. 1B. 4C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面α，β的法向量分别是m=(2,-1,2)，n=(2,4,0)，直线l的方向向量为a= (1,4,1)，则( )
A. α⊥βB. l//α
C. {a,m,n}可以作为空间的一个基底D. n在a上的投影向量的模长为3 2
10.下列四个命题中真命题有( )
A. 直线y=x-2在y轴上的截距为2
B. 经过定点A0,2的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线6x+my+4m-12=0m∈R必过定点
D. 已知直线3x+4y-1=0与直线6x+my-12=0平行，则平行线间的距离是1
11.已知椭圆x216+y27=1的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 ( )
A. △AF1F2的周长为16B. △BF1F2的周长为14
C. 若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|=11D. 若|OA|=3，则△AF1F2的面积为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点P0(3,2)是圆x2+y2=1外一点，过点P0作圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程为_________．
13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1E，则M点的轨迹长度为__________．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若SΔABC=3SΔBCF2，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．
(1)求|CE|;
(2)求直线EC与AF所成角的余弦值;
(3)求平面AFE和平面AFB夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1、l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1、l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1:y=2x和l2:y=-12x是一组“O-1共轭线对”，其中O是坐标原点．
(1)已知l1、l2是一组“O-3共轭线对”，且知直线l1:y=2x，求直线l2的方程;
(2)如图，已知点A(0,1)、点B(-1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ、QR、RP上的点(A、B、C与P、Q、R均不重合)，且直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直线RP、RQ是“R9共轭线对”，求点P的坐标;
(3)已知点H(-1,- 2)，直线l1、l2是“H-2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1、l2的距离之积的取值范围．
17.(本小题15分)
如图 ①，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60∘，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图 ②．
(1)求证：A1E⊥平面BCDE;
(2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在，求出EPPB的值;若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知△ABC的三个顶点A(-1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H．
(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，从椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，F1A= 10+ 5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P关于x轴的对称点为P0，过椭圆上不同于P，P0的任意一点Q，作直线QP，QP0分别交x轴于点M，N.证明：点M，N的横坐标之积为定值．
答 案
1.A 2.B 3.A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.B
9.ACD 10.CD 11.BCD
12.3x+2y-1=0
13. 2
14. 55
15.解：(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，F(0,1,0)，C(0,2,0)，E(2,1,2)，
CE=(2,-1,2)，
∴|CE|= 22+(-1)2+22=3．
(2)∵CE=(2,-1,2)，AF=(-2,1,0)，
∴cs=-4-1 (-2)2+12× 22+(-1)2+22=- 53，
∴直线EC与AF所成角的余弦值为 53．
(3)平面AFB的一个法向量为n1=(0,0,1)，
设平面AEF的一个法向量为n2=(x,y,z)，
∵AF=(-2,1,0)，AE=(0,1,2)，
∴AF·n2=-2x+y=0AE·n2=y+2z=0,
令x=1，则n2=(1,2,-1)，
则cs=n1⋅n2|n1||n2|=-1 1+4+1=- 66，
平面AFE和平面AFB所成的角为锐二面角，
所以平面AFE和平面AFB夹角的余弦值为 66．
16.解：(1)由已知得kl1kl2=-3，
又kl1=2，∴kl2=-32
∴直线l2的方程y=-32x；
(2)设直线PR,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3，
由题意知k1>0，k2>0，k3>0，
且k1k2=1k2k3=4k3k1=9，得k1=32,k2=23,k3=6，负值舍去．
直线PR的方程为y=32(x-1)，直线PQ的方程为y=23x+1，
联立得P(3,3)；
(3)设l1:y+ 2=k(x+1),l2:y+ 2=-2k(x+1)，其中k≠0，
故d1d2=k- 2 1+k2⋅|-2k- 2| 1+4k2= 2⋅|k2-2| (k2+1)(k2+4)= 2⋅ k4-4k2+4k4+5k2+4= 2⋅ 1-9k2k4+5k2+4= 2⋅ 1-9k2+4k2+5．
由于k2+4k2+5⩾9(当且仅当k2=2时，等号成立)，
故1-9k2+4k2+5∈[0,1),d1d2∈[0, 2)．
17. (1)证明：∵DE⊥BE，BE/​/DC，
∴DE⊥DC，
∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，A1D，DE⊂平面A1DE，
∴DC⊥平面A1DE，
又∵A1E⊂平面A1DE，
∴DC⊥A1E，
∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，DC，DE⊂平面BCDE，
∴A1E⊥平面BCDE；
(2)解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2 3，
A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(4,2 3,0)，D(0,2 3,0)，
∴BA1=(-2,0,2)，BC=(2,2 3,0)，
设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则-2x+2z=02x+2 3y=0,
令y=1，∴m=(- 3,1,- 3)，
设P(t,0,0)(0≤t≤2)，
则A1P=(t,0,-2)，A1D=(0,2 3,-2)，
设平面A1DP的法向量为p=(a,b,c)，
则2 3b-2c=0ta-2c=0，
令a=2，∴p=(2,t 3,t)，
∵平面A1DP⊥平面A1BC，
由m·p=0得，-2 3+t 3- 3t=0，∴t=-3，
∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．
18.解：(1)设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A，B，C三点坐标代入方程得：
{-D+F+1=0,+F+1=0,3D+2E+F+13=0,解得 D=0, E=-6, F=-1,
所以外接圆的方程为x2+y2-6y-1=0．
化成标准方程为x2+(y-3)2=10．
所以外接圆圆心H(0,3)，半径为 10．
(2)易得直线BH的方程为3x+y-3=0，
设P(m,n) (0≤m≤1)，N(x,y)．
因为M是线段PN的中点，所以Mm+x2,n+y2．
又点M，N都在半径为r的圆C上，
所以x-32+y-22=r2,m+x2-32+n+y2-22=r2,
即x-32+y-22=r2,x+m-62+y+n-42=4r2,
因为这个关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2．
又3m+n-3=0，所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对任意的m∈［0，1］成立．
而f(m)=10m2-12m+10在［0，1］上的值域为［325，10］，
所以r2≤325且10≤9r2．
又点P在圆C外，所以PC>r，即(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对任意的m∈［0，1］成立，即r2