2021届安徽省定远县育才学校高三上学期第二次月考数学（理）试卷

2021届安徽省定远县育才学校高三上学期第二次月考数学（理）试卷

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2m<x<1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(－∞，0]   D．[0，＋∞)

2．若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π])的图象在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图象在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　)

A.   B．2

C.   D.

3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于(　　)

A．2  B．4  C．5  D．10

4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)

A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1

B．结余最高的月份是7月

C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D．前6个月的平均收入为40万元

5.平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　)

A．13＋6   B．2

C.   D.

6．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)

A．d>   B．d<

C.<d<   D.<d≤

7．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)

A．[－1,1]   B．[－2,2]

C．[－2,1]   D．[－1,2]

8.函数y＝的图象大致是(　　)

9．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，则实数b的值为(　　)

A．－1   B．3

C．－1或3   D．－3

10.设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．c<a<b   D．b<c<a

11．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)

A．20   B．18

C．3   D．0

12．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

14．已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)＋y(y－2x＋1)，且f(－1)＝3，则函数f(x)的解析式为________．

15．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是____________．

16．函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.

(1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

19. （本小题满分12分）

已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

20. （本小题满分12分）

设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝a＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．

22．（本小题满分10分）

某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15－0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：

(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

理科数学

一、选择题

1．　D         2．　A       3．　D      4． 　D       5.　D     6．　D

7．　A         8.　D         9．　C       10.　B     11．　A     12．　C

二、填空题

13．　(0,3)                 14．　f(x)＝x2－x＋1

15．　           16．　6

三、解答题

17.

(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，

于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，

所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，

因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.

(2)解　由S＝，得absin C＝，

故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，

由sin B≠0，得sin C＝cos B.

又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.

当B＋C＝时，A＝；

当C－B＝时，A＝.

综上，A＝或A＝.

18．

解　(1)由x＋－2>0，得>0，

当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，

定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；

当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－或x>1＋}．

(2)设g(x)＝x＋－2，

当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

g′(x)＝1－＝>0恒成立，

所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．

所以a>3x－x2，

令h(x)＝3x－x2，

而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，

所以h(x)max＝h(2)＝2，

所以a>2.

19.

解　(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1

＝(－1)n－1·.

(2)由(1)得Sn＝1－n＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1<Sn≤S1＝，

故0<Sn－≤S1－＝－＝.

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，

所以＝S2≤Sn<1，

故0>Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.

20.

解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，

可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，

所以g′(x)＝－2a＝.

当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；

当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．

所以当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当a＞0时，函数g(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.

(2)由(1)知，f′(1)＝0.

①当a≤0时，f′(x)单调递增，

所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意；

②当0＜a＜，即＞1时，由(1)知f′(x)在上单调递增．

可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，

当x∈时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增．

所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意；

③当a＝，即＝1时，f′(x)在(0,1)上单调递增，

在(1，＋∞)上单调递减，

所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不符合题意；

④当a＞，即0＜＜1时，

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意 .

综上可知，实数a的取值范围为.

21.

解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b

＝asin＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，

∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，

①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5；

②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

22．

解　(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．

(2)每套丛书售价定为x元时，由

解得0<x<150.

依题意，单套丛书利润

P＝x－＝x－－30，

所以P＝－＋120.

因为0<x<150，所以150－x>0，

则(150－x)＋

≥2

＝2×10＝20，

当且仅当150－x＝，

即x＝140时等号成立，

此时，Pmax＝－20＋120＝100.

所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．