安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二（上）1月月考数学试题（含答案）

这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二（上）1月月考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC=2，BD=2 3，AB与平面ACD所成的角为π3，则点B到平面ACD的距离为( )
A. 32B. 2 55C. 2 33D. 2 3913
2.直线l经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且与直线x+2y+1=0垂直，则l的方程是( )
A. 2x+y-5=0B. 2x-y-7=0C. 2x+y+7=0D. 2x-y+5=0
3.已知M是圆C:(x-1)2+y2=4上的动点，以点M为圆心，|OM|为半径作圆M，设圆M与圆C交于A，B两点，则下列点中，直线AB一定不经过( )
A. (34,12)B. (32,1)C. (12,12)D. (12, 22)
4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为M，左顶点为N，平行于MN的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中点为(-2,1)，且|AB|=2 5，则椭圆E的焦距为( )
A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 3
5.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点A1，C1在直线l上，△A1B1C1是边长为1的等边三角形，C1A2⌢是以点A1为圆心，A1C1为半径的圆弧，A2B2⌢是以点B1为圆心，B1A2为半径的圆弧，B2C2⌢是以点C1为圆心，C1B2为半径的圆弧，C2A3⌢是以点A1为圆心，A1C2为半径的圆弧，…，依次类推(其中点A1，C1，C2，C3，…共线，点B1，A1，A2，A3，…共线，点C1，B1，B2，B3，…共线).由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
A. 30πB. 44πC. 52πD. 70π
6.在数列{an}中，若a1+a2+…+an=2n-1，则a 12+a 22+…+a n2=( )
A. (2n-1)2B. 13(4n-1)C. 13(2n-1)D. 4n-1
7.抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点P(m,6)(m>9)沿平行于x轴的方向射入一条光线，经抛物线C:y2=4x反射后交抛物线C于另外一点Q，则点Q的纵坐标为( )
A. -23B. -1C. -43D. -2
8.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A. AC1=6B. BD⊥平面ACC1
C. 向量CB1与AA1的夹角是120°D. BD1与AC1所成角的余弦值为​66
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC满足AC=BC，顶点A(1,0)，B(-1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x-1)2+y2=r2相切，则下列结论正确的是( )
A. 圆M上的点到原点的最大距离为1+ 2
B. 圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为 2
C. 若点(x,y)在圆M上，则yx+1的最小值是-1
D. 若圆M与圆x2+(y-a)2=2有公共点，则a∈[- 3, 3]
10.若数列{an}是等差数列，公差为d，则下列对数列{bn}的判断正确的是( )
A. 若bn=-an，则数列{bn}是等差数列
B. 若bn=a2n，则数列{bn}是等差数列
C. 若bn=an+an+1，则数列{bn}是公差为d的等差数列
D. 若bn=an+n，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列
11.已知双曲线C:x2-y23=1，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足FM=2MP的点M的轨迹方程为(3x+2)2-3y2=4
C. 若A，B在C上，线段AB的中点为2,2，则线段AB的方程为2x-y-2=0
D. 若P为双曲线上任意一点，则点P到点2,0和到直线x=12的距离之比恒为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得 斤金．
13.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B-4a,1，直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为 ．
14.双曲线x2-y24=1右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若PF⊥QF，则△PQF的面积为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列an的前n项和为Sn,a3=7,S6=48，数列bn满足2bn+1=bn+2，b1=3．
(1)证明：数列bn-2是等比数列，并求数列an与数列bn的通项公式；
(2)若cn=anbn-2，求数列cn的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知三点(1,0)，(2,1)，135,-45在圆C上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹W的方程；
(3)在(2)的条件下，若过点52,0的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠BAD=60 ∘，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=2 3，E为PC的中点．
(1)求二面角E-AD-C平面角的正切值；
(2)在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆M的中心为坐标原点，焦点F1，F2均在x轴上，面积为2π，点1, 32在椭圆M上.

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)经过点P-1,0的直线l与曲线M交于A，B两点，▵OAB与椭圆M的面积比为25π，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知双曲线C的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，C的左右顶点分别为A，B，右焦点F5,0，离心率e=5．
(1)求双曲线C的方程及其渐近线方程；
(2)过圆O:x2+y2=b23上的点Qx0,y0作圆O的切线l2，交双曲线C于M，N两点，点P为弦MN的中点，证明：|MN|=2|OP|．
答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.AC
10.ABD
11.BD
12.778
13.-6
14.4
15.【解】(1)bn+1-2bn-2=12bn+1-2bn-2=12(bn-2)bn-2=12，
所以数列{bn-2}是公比q=12的等比数列；
bn-2=(b1-2)(12)n-1=(12)n-1，
即bn=(12)n-1+2，n∈N,n⩾1，
设等差数列an的公差为d，
由a3=a1+2d=7S6=6a1+6×52d=48，解得a1=3，d=2，
所以an=a1+(n-1)d=2n+1；
(2)由(1)知cn=an(bn-2)=(2n+1)(12)n-1，
所以Tn=3×(12)0+5×(12)1+7×(12)2+⋯+(2n-1)×(12)n-2+(2n+1)×(12)n-1， ①
12Tn=3×(12)1+5×(12)2+7×(12)3+⋯+(2n-1)×(12)n-1+(2n+1)×(12)n， ②
①- ②得
12Tn=3+2[(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n-1]-(2n+1)(12)n
=3+2×121-12n-11-12-2n+112n=5-2n+512n，
所以Tn=10-(2n+5)(12)n-1．
16.【解】(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有D+F+1=02D+E+F+5=0135D-45E+F+375=0,
解得D=-4E=0F=3,
可得圆C的一般方程为x2+y2-4x+3=0，
可得圆的标准方程为(x-2)2+y2=1．
(2)设直线l的方程为y=kx，点A、B的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，点P的坐标为(x,y)，
若直线l与圆C相交，有2k k2+1