湖北省新八校协作体2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试题（含解析）

湖北省新八校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷一、单选题1．已知复数（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（    ）A．1 B． C．0 D．22．直线的倾斜角是（ ）A． B． C． D．3．已知空间向量．若，则实数的值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．104．一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（    ）A． B． C． D．5．在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（    ）A． B． C． D．6．已知直线与直线关于原点对称，将直线绕原点逆时针旋转后得到直线，则直线的斜率为（    ）A．-3 B． C．3 D．47．已知一个圆台的母线长为，高为，侧面积为，则该圆台的体积为（    ）A． B． C． D．8．已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．0二、多选题9．已知直线，则下列正确的是（    ）A．当时，直线的一个方向向量为B．若，则C．若或2，则与相互平行D．若，则直线不经过第三象限10．在中，角的对边分别是，则下列正确的是（    ）A．若，则为钝角三角形B．若，则为等腰三角形C．若不是直角三角形，则满足D．若，且，则为等边三角形11．在棱长为的正方体中，，点是正方体表面上的动点，为的中点，则下列正确的是（    ）A．直线与平面所成最小角的余弦值为B．若点分别为的中点，平面与交于点，则C．若，则从点出发沿正方体的表面到达点的最短距离为D．若，则点的轨迹长度为三、填空题12．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线的方程为 ．13．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ．14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ．四、解答题15．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求：(1)“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率；(2)“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率．16．在中，已知点，过顶点作的垂线，该垂线方程为．(1)求直线的方程；(2)若点的坐标为，且边的中线所在直线的方程为，求直线的方程．17．2025年9月13日，以“峡谷英雄·骑遇恩施”为主题的2025中国公路自行车公开赛盛大开幕，其中志愿者的服务工作是赛事顺利举办的重要保障．恩施市文旅局承办了志愿者选拔的面试工作．现从中随机抽取了200名志愿者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．  (1)求的频率，并根据频率分布直方图估计样本成绩的下四分位数；(2)根据频率分布直方图估计这200名志愿者面试成绩的平均值；(3)现按比例分配采用分层随机抽样的方法从这200名面试者抽取40人作为终点拉拉队队员，其中抽到的第三组和第五组的拉拉队员组成队，若抽到的第三组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为70和22，抽到的第五组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为90和12，请据此估计队志愿者面试成绩的方差．18．如图，在三棱柱中，满足平面，且．(1)若，且，分别是，的中点．①证明：平面平面；②求平面与平面的夹角的余弦值．(2)若，求三棱锥的外接球的半径的最小值．19．在中，角的对边分别为，且满足．(1)求；(2)已知，且为锐角三角形，为其外心．①若点到边的距离，求；②设为垂心，为内心，且不是等边三角形，求比值的取值范围．1．C根据纯虚数的概念，可得答案.【详解】由题意可得，解得.故选：C.2．D由直线方程可知斜率,进而可得直线的倾斜角.【详解】由直线方程可知斜率为.故选：D3．C根据题意，结合，列出方程，即可求解.【详解】因为，由，可得，解得.故选：C.4．A由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题可得摸到白球的概率为．故选：A5．D根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】在平行六面体中，设且点为棱的中点，可得．故选：D.  6．C由题意可知直线与直线平行，得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则直线的斜率为，求解即可．【详解】由题意可知直线与直线平行，则直线的斜率与直线的斜率相等，等于．设直线的倾斜角为，则，则直线的斜率为．故选：C．7．B根据圆台的侧面积公式结合条件可得圆台底面圆半径，然后根据圆台的体积公式即得.【详解】设圆台底面圆半径分别为，则由圆台侧面积公式得，所以，又由题可知，所以，所以，所以圆台的体积为．故选：B.8．B记，用平面向量的数量积运算解题．【详解】设等边的重心为，记，则有，从而，又，可得，所以，当时，取得最小值.故选：B.9．ABD根据直线的斜率和方向向量的关系，可判定A正确；根据两直线垂直列出方程，可判定B正确；根据两直线平行，列出方程组，可得判定C不正确；根据直线的斜率和在轴上的截距，可判定D正确.【详解】对于A，当时，直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以A正确；对于B，由，可得，解得，所以B正确；对C，若与相互平行，则，解得，所以C错误；对D，当时，直线的斜率小于0，且在轴上的截距为，且过点，直线不经过第三象限，所以D正确．故选：ABD.10．ACD对于A，由两边平方整理得，则，故为钝角；对于B，因为结合正弦定理可得或；选项C：利用两角和的正切公式求解判断；对于D，由条件结合余弦定理可得，．【详解】对于A，，两边平方得，即，则，因为，可知，则，故为钝角，故A对；对于B，因为，所以由，根据正弦定理可得，所以可得，即，即或，因为，所以或，则为等腰三角形或直角三角形，故B错；选项C：因为，且是的内角，所以，故C正确；对于D，，由余弦定理得，所以，因为，所以．因为，据余弦定理：，可得：，化简得：，即得：，故，又，则为等边三角形，则D正确．故选：ACD．11．ABD以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，结合二次函数最值可求得A正确；作出截面后，结合平行线分线段成比例可确定点位置，知B正确；平面沿展开，根据两点之间线段最短可求得C错误；利用向量法可找到的垂面，进而确定点轨迹，知D正确.【详解】对于A，以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，平面的法向量，，若直线与平面所成角最小，则取最小值，，当时，即与点重合时，直线与平面所成角最小，此时，最小角的余弦值为，A正确；对于B，连接，分别为中点，，又，，则平面即为平面，，，，，即，B正确；对于C，将平面沿展开，使得平面与平面共面，连接，则即为所求最短距离；若，则，，，又，，C错误；对于D，取中点，连接，由A知：，，，，，，，，，，，，平面，平面；，点轨迹即为的周长，的周长为，D正确.故选：ABD.12．和根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）若过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线过原点满足，此时直线的方程为：；（2）设直线，将代入方程，解得：，故直线的方程为：；故直线的方程为：和．故答案为：和13．/0.6由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为，腾龙洞景区2人分别为，则在其中任取2人的基本事件总数，分别为：．则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：；故抽取的这两人来自不同景区的概率为．故答案为：14．根据题意，设，代入曲线方程，然后分与讨论，即可得到的范围，从而得到结果.【详解】设，则，代入曲线方程得，即，当，即时，得，矛盾；当即时，可得，又，故，所以.故答案为：15．(1)(2)根据题意，由独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设分别表示“甲，乙两轮猜对个成语”的事件，其中．根据独立性假定，得，，记“两轮活动中”星队”共猜对2个成语“，则，且互斥，与与与相互独立，所以．因此，“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率为.（2）记“两轮活动中‘星队’至少猜对3个成语”，则．所以，．因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为．16．(1)(2)（1）根据垂直直线方程可得所求直线的斜率，利用已知点以及点斜式方程，可得答案；（2）设出点坐标，根据其所在直线以及中点坐标公式，建立方程组，解得坐标，再由两个已知点，可得答案.【详解】（1）由题意，直线的斜率为，所以直线的方程为，即（2）设点，则，的中点在中线上，则，联立解得，点的坐标为．所以，直线的斜率为，故直线的方程为．17．(1)，下四分位数为63；(2)69.5(3)57（1）先确定，即可求，再由下四分位数的定义即可求解；（2）由平均数的计算公式即可求解；（3）由两组数据方差计算公式即可求解.【详解】（1）由图得，解之可得，故的频率；成绩落在的频率为0.05，成绩的频率为0.25设样本成绩的下四分位数为，则，解得．（2）根据题意知，估计200名志愿者候选者面试成绩的平均数为69.5．（3）据题意知：抽到的第三组、第五组拉拉队面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，且抽到的两组的频数之比为，则抽到的队的面试成绩的平均数为，抽到的队的面试成绩的方差：则抽到的队的面试成绩的方差为57．18．(1)①证明见解析；②；(2).（1）①利用勾股定理与线面垂直的判定得到平面，再结合面面垂直的判定定理证明即可，②建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解余弦值即可.（2）利用外接球的性质结合正弦定理得到，再结合基本不等式求解其最小值，最后得到的最小值即可.【详解】（1）①如图，在三棱柱中，因为面，且面，所以，由题意得，设；因为是的中点，，所以，因为，面，所以面，因为面，所以，由勾股定理得，则可得，得到，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.②建立为轴，为轴，过点垂直于底面的直线为轴的空间直角坐标系，据题可知，，则，设平面的法向量为，则得到，令，解得，，则，由上问可知平面，而面，故，又因为平面，且面，所以，而平面，则平面，可得平面的法向量为，故平面与平面的夹角的余弦值．（2）据题知，在等腰中，设的外心是，外接圆半径是，据正弦定理得，解得，如图，在直角中，，则，设外接球球心是，则平面，设外接球半径为，即，，则，令，则，，当且仅当时等号成立，此时，则该三棱锥的外接球的半径的最小值.19．(1)(2)①；②.【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得.因为，所以，因为，所以，又，故．（2）①外心到边的距离为，其中为外接圆半径．由已知得．由正弦定理得，将代入得．所以，从而，所以．因此．②由为锐角三角形得．设，不妨取，对应等边三角形，应排除．由及，计算得．所以，结合，因此．题号12345678910答案CDCADCBBABDACD题号11         答案ABD