湖北省武汉市第六中学2025~2026学年高二上册第一次月考数学试题（含答案）

2025-2026学年湖北省武汉市第六中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线y= 33x+7的倾斜角为(    )A. π3 B. π4 C. π6 D. π22.已知空间向量a= 13,b=5，且a与b夹角的余弦值为−9 1365，则a在b上的投影向量为(    )A. −9 1313b B. 9 1313b C. 925b D. −925b3.下列叙述正确的是(    )A. 若一条直线的斜率为k=tanα，则此直线的倾斜角为αB. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°C. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率D. 若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0° 1，又由y−14=kx−12x=1，解得N(1,2k+14)，∵2k+14≥0，∴k≥−12所以−12≤k≤12由弦长公式可得OM= 1+k22k−14k−4，又由点P到直线OM的距离为d=14 1+k2，所以SΔOPM=12OM⋅d=2k−132(k−1),−12≤k≤12．(3)由题意，可得S▵AMN=1324(1−k)+11−k+4，设t=4(1−k)+11−k−12≤k≤12，令m=1−k，即t=4m+1m12≤m≤32，函数t在[12,32]为单调递增函数，所以当m=12时，t的最小值为t=4，当m=32时，t的最大值为t=203，即4≤t≤203，所以14≤S▵AMN≤13，又S2≥m(1−2S)且13≤1−2S≤12，所以m≤s21−2s=11s−12−1,S∈14,13，可得11s−12−1的最小值为18，所以实数m的取值范围是m≤18． 18.【详解】(1)依题意直线方程为3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0，即3mx+3x+my−y−6m−2=0，即(3x+y−6)m+3x−y−2=0，所以由3x+y−6=03x−y−2=0，解得x=43y=2，故直线过定点P43,2．(2)依题意设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，将P43,2代入得43a+2b=1①.则A(a,0),B(0,b)，则a+b+ a2+b2=1212ab=6，解得a=3b=4或a=4b=3．其中a=3b=4不满足①，a=4b=3满足①．所以存在直线x4+y3=1，即3x+4y−12=0满足条件．(3)由(1)知直线过定点P43,2，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角α∈π2,π，所以PA=2sinα,PB=−43cosα，所以PA+32PB=2sinα−32×43cosα=2sinα−2cosα=2×cosα−sinαsinαcosα②，令t=cosα−sinα= 2cosα+π4，由于α∈π2,π，所以α+π4∈3π4,5π4，所以cosα+π4∈−1,− 22,所以t= 2cosα+π4∈− 2,−1．则②可化为PA+32PB=2×t1−t22=41t−t，由于y=1t−t在− 2,−1上为减函数，所以41t−t在− 2,−1上为增函数，故当t=− 2，即α=3π4时，PA+32PB取得最小值为41− 2+ 2=4 2.此时直线方程为y−2=tan3π4×x−43，即y=−x+103，也即3x+3y−10=0． 19.【详解】(1)由棱台性质知▵A1B1C1∼△ABC，所以A1B1AB=A1C1AC=12，则A1B1= 22，在▵A1B1A中，由余弦定理可得：B1A2=12+1−2× 22× 22=12，B1A= 22，连接B1D，因为D为BC中点，所以B1C1//CD、B1C1=CD，所以四边形B1C1CD为平行四边形，则B1D=C1C=1，因为B1A2+AD2=B1D2，所以∠B1AD=π2，B1A⊥AD，又因为AB⊥AD，B1A∩AB=A，B1A、AB⊂平面AA1B1B，AD⊄平面AA1B1B，所以AD⊥平面AA1B1B．(2)因为A1B12+AB12=A1A2，所以A1B1⊥AB1，则AB⊥AB1，以A为坐标原点，AB、AD、AB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，A(0,0,0),B 2,0,0,C(− 2, 2,0),D0, 22,0,A1− 22,0, 22，B10,0, 22，E 22,0, 24，AA1=− 22,0, 22,AC=− 2, 2,0，CE=3 22,− 2, 24，设平面AA1C1C的一个法向量为n=(x,y,z)，n⋅AA1=0n⋅AC=0 ⇒− 2x+ 2y=0− 2x+ 2z=0，令x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1)，设直线CE与平面AA1C1C所成角为θ，sinθ=CE⋅nCE⋅n=3 24 1064× 3= 15953(3)设m=x1,y1,z1为平面ADE的法向量，AE= 22,0, 24,AD=0, 22,0，m⋅AE=0m⋅AD=0 ⇒2x1+z1=0y1=0，令x1=1得z1=−2，m=(1,0,−2)，设M(x,y,z)，因为点M在侧面BCC1B1内，所以存在m、n使得BM=mBB1+nBC，(x− 2,y,z)=m(− 2,0, 22)+n(−2 2, 2,0)，x=− 2m−2 2n+ 2，y= 2n，z= 22m，因为A1M//平面ADE，所以A1M⊥m⇒A1M⋅m=0，得x−2z=−3 22，将x=− 2m−2 2n+ 2，y= 2n，z= 22m代入上式可得m+n=54，则n=54−m，所以M( 2m−3 22,5 24− 2m, 22m)，因为M在侧面BCC1B1内，所以− 2≤ 2m−3 22≤ 20≤5 24− 2m≤ 20≤ 22m≤ 22 ⇒12≤m≤1,|CM|= x+ 22+(y− 2)2+z2= ( 2m− 22)2+(− 2m+ 24)2+12m2= 92m2−3m+58当m=12时，|CM|取得最小值，此时M− 2,3 24, 24，易知平面AA1B1B的法向量为n1=(0,1,0)，设平面ABM的法向量为s=(x2,y2,z2)AB= 2,0,0，AM=− 2,3 24, 24，AM⋅s=0AB⋅s=0 ⇒x2=0− 2x2+3 24y2+ 24z2=0，令y2=1得z2=−3，s=(0,1,−3)，设平面ABM与平面AA1B1B所成的二面角为θ，cosθ=n1⋅sn1⋅s=1 10= 1010，sinθ=3 1010，所以平面ABM与平面AA1B1B所成的二面角得正弦值为3 1010．