2025-2026学年江苏省南京五十中九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京五十中九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x+2y=1B. x2+x-1=x2C. D. x2-5x=0
2.方程x（x-1）=0的根是（ ）
A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=-1
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=150°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 75°
B. 90°
C. 105°
D. 120°
5.下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
6.若关于x的方程（x-4）2=m+1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m≥0B. m≥-1C. m＞-1D. m＞1
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，，且的度数为的度数的一半.若∠BAC=40°，则∠BEC的度数为（ ）
A. 120°
B. 96°
C. 108°
D. 100°
8.过三点A（1，-1），B（5，-1），C（3，4）的圆的圆心坐标为（ ）
A. （3，）B. （3，）C. （4，）D. （4，）
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.方程x2=x的根为 .
10.设x1，x2是方程x2-2x+m=0的两个实数根.若x1=3，则x2= .
11.⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 .
12.若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（-1，-1），C（m,3）不能确定一个圆，则m的值是 .
13.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A，B处对读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是 .
14.如图，在▱ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E.若∠A=104°，则∠BCE= °.
15.实数x,y满足（x2+y2）2-2（x2+y2）-3=0，则x2+y2= .
16.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x,则可列方程为______.
17.如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC=84°，则∠ADC=______°．
18.如图，∠XOY=45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
解下列方程：
（1）x2-4x-3=0；
（2）（x-2）2=（2x+3）2.
20.(本小题7分)
已知：关于x的方程（x+1）（x+2）=m2.
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及m的值.
21.(本小题7分)
如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且.求证：AE=DE.
22.(本小题7分)
矩形种植区域ABCD如图所示，AB=75米，BC=50米.现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知BE=DF，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设DF=x米.
（1）EC= ______米（用含x的代数式表示），FP= ______米；
（2）求DF的长.
23.(本小题7分)
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm,求这个圆形截面所在圆的半径．
24.(本小题7分)
某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用）
25.(本小题7分)
小明在解方程=2时采用了下面的方法：
（-）（）=-（）2
=（24-x）-（8-x）=16
∵-=2，
∴=8.
将这两式相加可得解得x=-1.
经检验x=-1是原方程的解.
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）；
（2）.
26.(本小题7分)
如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F.
（1）判断AE与半圆的位置关系，并说明理由.
（2）若AB=6，求CF.
27.(本小题8分)
（1）如图（1），在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD.
求证OD∥AC.
（2）已知点P，⊙O的位置如图（2）所示.
①若过点P的直线l与⊙O有两个交点M，N，用两种不同的方法求作直线l,使得PM=MN.（要求：i.用直尺和圆规作图；ii.保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.）
②设⊙O的半径为r,改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在.请直接写出直线l存在时对应的OP的取值范围.（用含r的代数式表示）
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】x1=0，x2=1
10.【答案】-1
11.【答案】相交
12.【答案】3
13.【答案】29°
14.【答案】28
15.【答案】3
16.【答案】400+400（1+x）+400（1+x）2=1456
17.【答案】64
18.【答案】+1
19.【答案】解：（1）x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
（x-2）2=7，
则x-2=，
所以．
（2）（x-2）2=（2x+3）2，
（x-2）2-（2x+3）2=0，
（x-2+2x+3）（x-2-2x-3）=0，
（3x+1）（-x-5）=0，
则3x+1=0或-x-5=0，
所以．
20.【答案】见解答；
另一个根为-6，m的值为．
21.【答案】解：方法一：连接AD，
∵=
∴AC=BD，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AE=BE．
方法二：∵=，
∴-=-，=，
∴AC=BD
在△ACE与△DBE中，
∵，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴AE=DE．
22.【答案】（50-x），25；
DF=（50-25）米．
23.【答案】解：（1）如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．
（2）连接OA，设OA=OC=r,
则AD=AB=8cm,点C为的中点，
进而，CD=4cm.
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm,则OD=（r-4）cm.
在Rt△ADO中，有82+（r-4）2=r2，
解得r=10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10cm.
24.【答案】（1）60-；200+x；（60-）×20；
​（2）依题意得：（200+x）（60-）-（60-）×20=14000，
整理，得
x2-420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60-=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60-=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
25.【答案】解：（1）（+）（-）=x+6-（x+2）=4，
∵，
∴-=1，
将这两式相加可得=，
∴x+6=，
解得x=，
经检验，x=是原方程的解；
（2）（+）（-）=（9x2+8x-3）-（9x2-4x-3）=12x,
∵，
∴+=6x,
将这两式相加可得=3x+1，
解得x=2，
经检验，x=2是原方程的解．
26.【答案】解：（1）AE与半圆相切；
理由：设半圆的圆心为O，
连接OA，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
在△ADO与△AEO中，
，
∴△ADO≌△AEO（SSS），
∴∠AEO=∠ADO=90°，
∵OE是半圆O的半径，
∴AE与半圆相切；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵CD是半圆O的直径，
∴FC是半圆O的切线，
∵AE与半圆相切，
∴CF=EF，
设CF=EF=x,
∴BF=6-x,AF=6+x,
∵AB2+BF2=AF2，
∴62+（6-x）2=（6+x）2，
解得x=，
∴CF=．
27.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC；
（2）解：①作法一：如图，直线l即为所求，

作法提示：①连接PO并延长交⊙O于点E、F；
②以P为圆心，EF长为半径画弧交⊙O的EF下方于点Q；
③连接QO并延长交⊙O于点N，过P、N作直线l交⊙O于点M，则直线l即为所求．
证明：连接QM，
∵QN是直径，
∴∠QMN=90°，即QM⊥PN，
∵PQ=EF=QN，
∴PM=MN．
作法二：连接PO并延长，交⊙O于C、D两点，

如图，设a=PC，b=，PM=x,

由PM•PN=PC•PD得，
x•2x=a•2b,
∴x2=ab,
∴以点P为圆心，PM长（即x长）为半径画弧，交⊙O于点M，连接PM并延长交⊙O于点N，则PN即为所求；
（3）根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的⊙P与⊙O有交点即可，
∴r＜OP≤3r. 入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后
______
______
______