模型04 相似三角形模型（十大易错分析 举一反三 易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（全国通用）

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易错模型1：一线三等角（K字）模型
模型解读“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）

（同侧锐角型） （同侧直角型） （同侧钝角型） （异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
易错提醒：未正确识别或添加辅助线以构造“一线三等角”，导致无法形成相似或全等三角形‌。
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵为等边三角形， ∴，
∵，，∴，∴∴
∵，∴，∴∵∴，故选：C．
变式1．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．

(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
【答案】(1)成立，见解析 (2)①，见解析；②或
【详解】（1）猜想．理由：如图2，

，．，，．
在和中，，，，，；
（2）①猜想：．理由：如图3，，．
，，．
，，，，，；
②或．同①可得：，．
如图4，；如图5，．
变式2．（2024·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则
【答案】D
【详解】解：依题意可得，∴，∴，
又，∴．故A项正确；如图，
∵，，∴．在与中，，
∴，∴，又∵，∴；
∵为等腰直角三角形，∴；∴；
∵，∴，∴，∴．故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得，
∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确；
∵，，，∴，∴，，
∴，∴；∴．故D项错误．故选：D．
易错模型2：手拉手模型
模型解读 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC。
2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，，；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）

条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；.
条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.
易错提醒：1）忽略“共顶点、双等腰、顶角相等”三个必要条件，误将非手拉手模型图形强行套用结论‌；
2）未遵循“左手拉左手，右手拉右手”原则，错误连接对应点（如将顶点B与D连接而非B与E）。‌
例1．（2024·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．

【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析；
(2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明见解析；(3)28
【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案为：BD=CE．
（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．
理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE
（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．
，
将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，
当AB⊥BE时，
ABC是等边△，等边三角形的边长为4，，
变式1．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ．
【答案】
【详解】过点E作，交的延长线于点H，
，，，，
，，，，，
，，，，
，，，
．故答案为：．
变式2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12，
【详解】（1）∵，，．∴，
∴，，
∴即，∵∴，∴．

（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，∴，
∵是中线∴，∴，∵，
∴即，∴，∴，
∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，
∵∴四边形矩形，∴，
∴，∴，∴，
设，则，∵，∴，∴，
∵，∴，解得；∴，，
∵，∴，∴，∴，∴，解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，
∵，∴，∵，，，
∴四边形是矩形，∴，∴，故；

如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴，解得；故．
变式3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转．
猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长．
【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2
【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，，
∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴为等腰三角形；
（2）解：，

证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴，
∵点O为的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
（3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接，
∵点O为中点，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：；
情况二：∵为等边三角形，∴，∵点O为中点，，∴，，
如图②，当点O为中点时，，
∵等边边长为2，∴在中，，∴，
∵此时三点共线，∴点B和点E重合，又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合，
∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2．
易错模型3：半角模型
模型解读 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。
常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°

图1 图2
结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
结论：如图4，△AMN∽△AFE且．
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图5
条件：如图5，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。
易错提醒：1）误将半角模型结论套用于非半角场景（如普通三角形）‌；2）动态问题中未保持半角恒定性（如旋转后角度变化未重新验证）.‌
例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．
其中正确的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．

∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，
∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．
∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．
∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，
∴1x，∴x=2，∴，故③不正确，
③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH．
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，
∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，
∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C．
变式1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
在中，，，解得：，；
（2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，
，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，
，，，
在中，，即，解得：，；
②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，，，
，在中，，即，
解得：，；综上所述，或；
（3）作，且令，连接，，
，，，，
， ，，，
，，，
，，，，
，，
，
，，，．
变式2．（2024·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．
①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．
②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或
【详解】解：（1）四边形是菱形， ，
∵，∴△ABC是等边三角形，∴，，
，；，，，是等边三角形；
（2）①连接，点是的中点，，，，，
由（1）知，是等边三角形，，平分，，
，，即，
，，
②如图，当点H为AG中点时，即；∵是的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,
∵，∴，即；同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE，；
连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P，∵，，∴,
∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，
∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，
设EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，
∵EN=CN=4，；综上，的值为：或．
易错模型4：对角互补模型
模型解读 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，

结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②
2）对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。
易错提醒：1）误将“全等型对角互补”结论套用于相似场景；2）‌区分相似对角互补模型与普通相似模型的区别（如是否需满足∠A+∠C=180°）。‌
例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
【答案】（）见解析；（），理由见解析；；（）
【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，，
，，，，
，，∴∠EDF，，

在和中，，∴， ，
，即；
（），理由如下：过点作于，于，
，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
，，设，则，，，，
，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
如图4，当点在射线上时，过点作于，于，
，，，，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，
，，，，，，
四边形是矩形，，，
又，，，，
；
当点在的延长线上时，如图5，，，，

，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，，，，，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，；
（3）解：连接，，，如图（1），
的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动，
∵点D为靠近B的四等分点，∴，
由（2）得，∴
当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图，
∴，∴，∴∴，∴，
∵，代入得，∴；
当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图，

∵，代入得，∴，
∴如图，点M的运动轨迹即为的长，
∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为
变式1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持.
(1)若，求证：①，②；
(2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积.
【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3)
【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，
∵是等边三角形，∴，∵， ∴，，
又∵，∴，，
∴，∴，
∴，即，
在中，，∴，∴；
②证明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，
当时，，即，是的中点，，，

，，，
，是等边三角形，，
，根据（1）中的结论可得，；
故线段之间的数量关系为；
②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，
同①，可得，，，，，
同①可得，，
即线段之间数量关系为；
（3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，

当与重合时，，则，∴是等边三角形，
当与重合时，同理可得是等边三角形，
∵，∴，∴，
∵分别为的中点，∴则
∴，则 又∵∴
∴∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，
， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点，
∴∵是等边三角形，∴，
∴，∴，过点作于点，则，
∴，∴，
即线段扫过的图形的面积为．
变式2．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．
【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；
【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．
【答案】（1），理由见解析；（2）的最小值为；（3）点运动的路程为．
【详解】解：（1）结论：，理由：如图1，过点作于，于，
则，四边形是矩形，，
，四边形是矩形，，，，
由旋转得：，，即，
，，，为中点，，
∵，，，，，，
，，，，，；
（2）当时，，设，，，过点作于，如图2，
则，，，，
，，，，
，，，
，点在边上，，即，，
，的最小值为；
（3），，，
在中，，为中点，，
当点在点处时，如图3，，，，
，即，，
的中点为，；当点运动到点处时，如图4，
是斜边的中点，，，，
，即，，的中点为，，；当点在边上时，如图5，过点作于，
则，，，
点运动的路程为．
易错模型5：十字架模型
模型解读 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
1）条件：如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：。

2）条件：如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：。
3）条件：如图，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：。

4）条件：如图，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
5）条件：如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
6）如图，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似）
易错提醒：1）在等腰直角三角形中，未补齐正方形结构或误用平行线构造相似三角形‌；2）如延长垂直线段构造正方形，显化全等或相似关系。
例1．（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值；
(3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)或2或
【详解】（1）如图，∵ =1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°，
∵ ，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP．

（2）∵ 矩形中，E是边的中点，∴设BE=EC=x，则BC=AD=2x，∠BAD=90°．
∵ ，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴，
∵ 四边形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，
∴，∴，
解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=，
∴，∴．
（3）当时，∵ 四边形是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°，
∵ E是边的中点， ，∴ AD=BC=2BE，∠PFE=90°，
∵P，D，为顶点的三角形是等腰三角形，∴，∴，∴，
∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°，根据（1）证明，得∠BAE=∠CBP=30°，
∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=，
∴，，∴=．

如图，当点P在CD的延长线上时，此时落在AD上，
根据题意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴，
∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四边形ABE是正方形，故是AD的中点，
∴=CD，∴=．如图，∵ ，设AB=x，则AD=mx，BE=，
∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG= tan∠AEB，
∴，∴，解得AG=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴，
∴，∴，∴，∴．
变式1．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．

【答案】
【详解】解：如图，作于点F，∵在等边中，，∴，

由勾股定理得，，∵，∴，在中，，
∵P是等边内的一点，且，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，即，解得，，∴，
∴的周长．故答案为：．
变式2．（23·24下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．

【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析
【详解】（1）解：，，
，，，；
（2）解：猜想正确，理由如下：，，，
平分，，，
在和中，，，；
（3）解：如图，过点C作平分交于点N，由（2）可知，，，，

平分，，D是的中点，，
在和中，，，
，，即．
易错模型6：（双）A字模型
模型解读 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型

图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。
易错提醒：1）未过“截点”作平行线构造A字型，直接利用已知线段推导比例关系‌；2）A字模型需结合几何直观与代数计算，避免因图形复杂度忽略共角与平行线两大核心条件。‌
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】点，为边的三等分点，，
，，，，
点，为边的三等分点，，点，为边的三等分点，，
，，，．故答案为：
变式1．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵四边形是正方形，，，
，，， ，，，
解得：，正方形的面积为故答案为：
变式2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：；(3)若，，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)．
【详解】（1），理由如下，∵ ，，∴ ，
∵ ，，∴ ；
（2）由（）得，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）∵，，∴，∴，∴，由（）得，
∵，∴，∵，∴，∴．
易错模型7：（双）8字模型
模型解读 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型

图1 图2 图3 图4
①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。
④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型

图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。
易错提醒：1）混淆“全等型8字”与“相似型8字”的辅助线构造方法（如误用全等结论解决相似问题）‌；
2）复杂图形（如折叠或组合图形）中未发现隐藏的8字结构（如误将相交线视为普通线段）。‌
例1.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）．，
．
（2）
变式1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积；
(2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积

【答案】(1)(2)是定值；是定值；详见解析(3)①；②
【详解】（1）解：如图，连接 由题意可知：为的中位线∴∴

∴ 由题意得：∴∴
，；
（2）解：由（1）同理可得，是定值；∵∴
故点到的距离和点到的距离之比也为 的底相等 故，是定值；
（3）解：四边形ABCD是正方形，，，，，
为CD的中点，，，，，即；
，且，，，，
，，正方形ABCD的面积为：．
变式2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
易错模型8：母子型（共边共角模型）
模型解读“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。

图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
易错提醒：混淆“母子型”与“双垂直模型”的射影定理结论（如误用AC²=AD·AB解决非垂直问题）。‌
例1．（2024·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．

(1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，，
设，则，∴，即，
∴，∴，解得：（负根舍去），∴；
（2）证明：∵，， ∴，
又∵平分， ∴，
∴， ∴，， 即， 又∵，，
∴， ∴ ， ∴ ， ∴D点是的黄金分割点．
（3）如图，连接，同理可得：，，
∴，∵为的中点，，∴，∴，

∴，，∴，
同理可得是的黄金分割点，且，∴，设，∴，整理得：，
解得：（负根舍去），∴.
变式1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（ ）
A．B．3C．9D．
【答案】A
【详解】∵平行四边形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，解得，故，选A．
变式2．（2023·山东淄博·九年级期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．

【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，∵，
∴，∴，∴是等边三角形，
（2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为，
∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去），
如图所示，过点，作于点，∴，∴，∴的面积为。

变式3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．(1)初步探究：如图2，若，求证：；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知，∴，
∴，∴与的相似比为，∴，∵∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，∴设，∵，∴，，
在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示：
∴，∴，∴，∴，，∴，∴，
∵，点为中点，∴，，，
又∵，∴，，∴，
又∵，∴，，∴，即，∴，∴．
易错模型9：梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型
模型解读
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
易错提醒：将梅涅劳斯定理（三点共线）误用于塞瓦定理（三线共点）场景，导致比例式错误‌。
例1．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：


（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，
则．故：．

（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．
又，∴，．在等边中，，点为的中点，
．由勾股定理知： ．
（3）解：线段是的梅氏线，
由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接，
，于是．
变式1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
【答案】
【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。
法2：过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵是的中线，∴，
∵是的中点，∴，∴，．故答案为：．
法2：过点作交于，则，是的中线，是的中点，
，，，．故答案为：．
变式2．（2024·山西·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为
【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．
由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；
（2）解：∵为等边三角形，，∴∵点D是BC边的中点，∴，
∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，
∴，，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴
又，∴，∴．
易错模型10：托勒密定理模型
模型解读 托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：．

特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：，
又等边△ABC有AB=AC=BC， 故：．

特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：，
又，代入可得结论：．
特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：
又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论：．
易错提醒：1）将托勒密定理（四点共圆）误用于非共圆四边形，导致错误使用等式结论‌；2）混淆托勒密定理与圆幂定理、中位线定理的应用条件（如误用圆幂定理替代乘积关系）‌。
例1．（2024·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点.，
（依据1），（依据2），
，，.
，，即，
，，
．

任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．
【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3)
【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）解：如图，作，交于点，
，，，，，
，，，，
即．，，．
．，
四边形是矩形，，
，故答案为：勾股定理；
（3）解：为直径，，
，，，．
的角平分线交于点，，，
为等腰直角三角形，．
四边形为圆的内接四边形，．．
变式1．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接，BD，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交CD延长线于，如图：，，，
，是的直径，，，
半径为，，，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，在中，，
由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．，，
，，
四边形的周长为，故选：A．
变式2．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
【答案】(1)；(2)没有，理由见详解；(3)；
(4)圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
【详解】（1）解：，证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA，
∵为等边三角形， ∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，∵，∴，
在和中， ，∴（SAS）∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，∴；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，∵，∴，
在和中， ，∴（SAS）∴，，
∵，又∵，
∴，∴，
∵，∴，∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；
（3）如图6，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上，
∵，又∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∵，，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴ ，
当AB＝c，AC＝b，BC＝a时，∴，即．故答案为：；
（4）由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
1-1．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A．3B．C．2D．1
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，交于点，

在和中，
设，则，
，即：，解得：，
，，，，，
，故选：C．
1-2．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：；
【尝试应用】如图2，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E、F，连接，使得．若，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E，连接CE．若，，求的正切值．

【答案】【基础巩固】见解析 【尝试应用】【拓展提高】
【详解】【基础巩固】证明：∵,
，∴,
又∵,,，∴,∴.
【尝试应用】解：∵,
∴，,即：，
又∵，，即：，
又.∴,
又∵，，
∴,∴,∴，∴，故CE的长为：.
【拓展提高】解：如图所示，在BD上取点F，使，作于点，

∵，∴，.即：，
又∵，∴，
又，，∴，∴，
∴，，∴，∵，∴令，则∴，
又∵∴在中，，∴，
由勾股定理可得：，
又∵，
∴∠，∴，∴，∴，
设，则，.
∴，解得：,∴,
∴故的正切值为：．
1-3．（2024·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【详解】（1）证明：，，，
，∴，，
，，；
（2）解：如图2中，延长交的延长线于点．，，，
，，
，，，，，
，，，，；

（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，，，，
，，，
，，，，
，，，，，．
2-1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】(1)，(2)，，证明见解析(3)(4)或
【详解】（1）解：∵，∴，
又∵，，∴，∴， 设交于点，
∵∴，故答案为：，．

（2）结论：，；
证明：∵，∴，即，
又∵，，∴∴，
∵，，∴，∴，
（3），
理由如下，∵，∴，即，
又∵和均为等腰直角三角形∴，∴，∴，
在中，，∴，∴；
（4）解：如图所示，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，则是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵，∴∴，∴，
∵，在中，，
∴∴
过点作于点，设，则，
在中，，在中，
∴∴解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，∴
在中，∴∴
又，∴∴
∴，∴∴，
在中，
∴，
综上所述，或故答案为：或．
2-2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
【答案】(1)，证明见解析；(2)
【详解】（1）解：猜想，证明如下：
在中，，，，的中点分别为D，E，
∴，，，则，
，，，，，
将绕点A逆时针旋转，连接，，根据旋转的性质可得：，
，，，；
（2）解：，分别取，的中点D，E，
，，，，
∴当所在直线经过点B时，，，
在中，根据勾股定理可得：，由（1）可得：，
，解得：；
2-3．（2024·山东济南·模拟预测）(1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理．
(3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．
【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)的长为或
【详解】（1）解：如图1，延长，交于H，连接，
∵四边形和四边形都是矩形，∴，
∴，∴四边形是矩形，∴，，
∵矩形与矩形相似，，∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：．

（2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接、，
∵矩形与矩形相似，∴，由旋转可得：，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
（3）解：①如图3，当点E在线段上时，连接、，
∵四边形，四边形为正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴；
②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、，
∵四边形，四边形为正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，综上所述，的长为或．
3-1．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，，，，，

，，，
在和中，，，
，，，
，，∴四边形是矩形，
，，，，
，，∴，∴，，故选：C．
3-2．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．(1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：；
②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长；
(2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）．

【答案】(1)①见详解；②，；③；(2)或．
【详解】（1）①证明：∵

②，，∵，∴，
∵、都是等腰直角三角形，∴，，
∴，；
③在中，，，则，，
，，，
，，，即，解得：；
（2）如图2，当点在线段上时，
由②可知：，，即，解得：，
；
如图3，当点在线段的延长线上时，，
综上所述：的长为或．
3-3．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．
【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4
【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形，
∴，.由旋转得，
∴，，，，
∴，∴E，B，N在同一条直线上.
∵，，∴，
∴，∴，∴.
在与中，∴，∴.
∵，∴
∴.
在中，由勾股定理得∴.∴；
（2）三条线段，，之间满足的数量关系为，理由如下：
图（1）
如图（1），过点D作，且，连接，，
则，∴.∵四边形是正方形，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.
在与中，∴，∴，.
∵，，∴
在和中，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴；
（3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则.
∵四边形是矩形，∴，∴，∴，
∴，∴， 设，则.
∵四边形是正方形，，∴由（1）中证明知，.
在中，由勾股定理得，即，解得，∴长为4．
4-1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究
问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点．
理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，．
，．是等边三角形．，
．．又，．
．即若点E是的中点，则点F也是的中点．
反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论；
拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解．
【详解】解：（1）于点D，，
∵点E是的中点，，，
，，，
又，，
，，即点F是的中点；
（2）旋转过程中，若，那么等式成立．
理由如下：，∴四边形是矩形，
，，，；
（3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立．
理由如下：，，
，，同理证得，
则，，同理证得，则，，即．
4-2．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【详解】解：当时，即：，，，
，，，，
，即，∽，，
，，∽，，
，，，，，
，，
即，∽，，
，，∽，，
成立如图3，，，又，，，

，，
即，∽，，
，，∽，，．
由有，∽，，，，
如图4图5图6，连接EF．在中，，，，
如图4，当E在线段AC上时，在中，，，
根据勾股定理得，，，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，在中，，，
根据勾股定理得，，，，或舍，

③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，，
根据勾股定理得，，，
，或（舍），综上：或．
5-1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为AD边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交CD边于点H，且，则线段的长为 ．
【答案】/3.5
【详解】解：过E作于M，如图，则，
∵四边形是矩形，，∴，，
∵沿翻折到处， ，∴，，，
设，则，在中，由勾股定理得，
∴，则，∴，，
∵，，∴，
∴，即，∴，，
设，∵∴四边形是矩形，∴，，
在中，，，由勾股定理得，
则，解得，∴．∴故答案为：．
5-2．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴，∴．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 ；

迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为
【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）证明：①由（1）知，∴，
又∵，∴是等边三角形，∴．
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
②∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴；
（3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，

∵，∴，∵，
，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，由②知 AD=2BD，∴；
如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，∵,∴.
∵,∴,
∵,∴∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3．
5-3．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
【答案】
【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图：
，，，
在和中，，，
，，，即为的中点，
，，，，
，，故答案为：．
6-1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【详解】解：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，∴，即，∴
∴，∵，，∴，∴，
又∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∴∴，∴，∴；∵，∴．故选：B．
6-2．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ．
【答案】/
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∴，即，∴，∴，
同理可证，
∴，即，∴，同理可求得，
∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：．
6-3．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（ ）
A．5B．7C．6D．8
【答案】D
【详解】解：由题意知，，，
∵，，∴，
∴，∴，∴，，
又∵，∴，∴，
∴是的中位线，∴，故选：D．
7-1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，，
∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴，
∴，即，故答案为：．
7-2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：菱形的边长为6，，
，，，，
，，在中，，
，，，
，，在中，，
，，，，
，，，，
．故答案为：．
7-3．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：、，，∴，，，
∴，，∴，，∴，
，∴，点是的中点，，，，
∴，，∴，∴，故选：．
7-4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像．
【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．
已知，，当时，求证：．
证明：∵，，∴
又∵，∴，∴，即，同理可得，
∴，即 ① ，∴ ② ，∴，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象．
【答案】(1)①②(2)20(3)见解析
【详解】（1）证明：∵，，∴
又∵，∴，∴，即，
同理可得，∴，即，∴，
∴，∴，即．故答案为：①；②；
（2）由（1）可知，，，
当，，时，可得，解得，
∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20；
（3）如下图，设与交于点，根据题意，，
∵，∴，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，
∴，即，由（1）可知，，∴，
∴，∴，即，
∴，∵，∴，
∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点．
8-1．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：
①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵是斜边上的高，∴．∵，，
∴．∴（依据）．∴．即．
(1)材料中的“依据”是指 ；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似(2)见解析(3)顶点A的坐标为或
【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似，
故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）证明：②，理由如下：∵，，∴，
∵，∴，∴∴；
③，理由如下：∵，，∴，
∵，∴，∴∴；
（3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，∵，，∴，，

∵，，∴，∴，∴顶点A的坐标为或．
8-2．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．
(1)求证：．(2)当时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意得：，，，
平分，，；
（2）解：， ，，，．
8-3．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brcardpint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brcard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．
【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）由题意知：，
为等边三角形，，AB=BC=AC,
，，，
，，同理可证得出：，
，故答案是：30°，．
（2）①
证明：∵是等腰直角三角形∴，即，
∵，∴，又∵，∴.
（3）∵是等腰直角三角形，∴，∴.
∵，∴，∴，，，∴.
∵，∴.
在中，∵，，由勾股定理得，，
∴，∴∴．
9-1.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
【答案】见解析
【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。
法2：本题考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出．
【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵D为中点，，∴，
∵是的中点，∴，∴，．．
法2：作的中点G，连接，则，
∵，∴，∴，∵，∴，∴．
10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
(1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
【答案】(1)平行线分线段成比例(2)见解析
【分析】本题考查了平行线分线段成比例质．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．
【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例；
故答案为：平行线分线段成比例；
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：，，
，，即．
9-2．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．
【答案】（1）见解析；（2）6
【详解】解：（1）补充的证明过程如下：
，，；
（2）根据梅涅劳斯定理得，
∵点D为BC的中点，，，，，
∵，，∴AD⊥BC，BD=5，
∴在中， ，．故答案为6．
9-3．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GivanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴①． 同理可得△NOA∽△COD．∴②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．
任务二：证明见解析；任务三： ．
【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；
（2）；
任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；

同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；
∴；∴；∴．
任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中，1；
∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；
∴cs∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；
∵1；∴1；解得；
过点E作EH⊥AC于H；∴
10-1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
在中，，，，
，，在中，，
在中，，，
在中，，，
四边形是的内接四边形，，
，解得：，故选：B．
10-2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中 ．
【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）；
【详解】解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；

②如图所示，，故答案为：．
（2），证明如下：如图，过点C作交于E，
∵，∴，
∵，∴，又∵，∴（ASA），∴，
∴是等腰直角三角形，∴，即，
如图所示，过点C作交于F，同理可得是等腰直角三角形，，
∴，；
（3），如图，过点B，作，在上截取，连接，

∵，，在和中，，
∴（），∴，∴，
又∵，∴，∴，∴．
另解：（2）（3）问也直接利用托勒密定理，但是解答题还是建议常规辅助线方法为好，除非题中证明过托勒密定理。
（4）如图，以为边，作正方形，连接，，
根据（1）可得P在上，则，∴，
设，则，，在中，，
在中，，在 中，，
∴，解得 （负值舍去），∴，
∴矩形的面积为．
10-3．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接，点D为圆上一点且，连接AD交于点E．(1)求证：；(2)设，．
①求证：；②若，求的值．（用含m、k的代数式表示）
【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ②
【详解】（1）证明：∵，∴，，
∴；
（2）①证明：过点作于点，过点作于点，
∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴；
②解：∵，，∴，
∴，即，解得：，∴，
又∵，,∴，∴，
∴．