山东省部分学校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省部分学校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的数字是偶数且不小于4的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
4．已知甲、乙投篮命中的概率分别为，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1次，则两人共命中1次的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知空间向量，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平行六面体中，，则的长为（ ）

A．B．5C．D．
7．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．在三棱锥中，两两垂直，且，点分别为棱的中点．给出以下说法，其中正确的个数是（ ）
①；
②；
③侧棱与底面所成角的正弦值为；
④直线与所成角的正弦值为．
A．B．C．D．
二、多选题
9．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥B．
C．D．
10．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．四棱锥的体积为
11．某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．如图，已知是等腰直角三角形，且，正方形的边长为4．若二面角的大小为，则 ．

13．甲、乙二人进行军棋比赛，每盘甲获胜的概率为．现采用随机模拟的方法估计在甲、乙进行的两盘军棋比赛中，甲恰获胜一盘的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示甲获胜，7，8，9，0表示甲未获胜；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数组：,据此估计，甲恰好获胜一盘的概率为 ．
14．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为 ．

四、解答题
15．为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下：
假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率．
(1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率；
(2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率．
16．如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题：
(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值.
17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知两人总共进行3局比赛，且各局比赛的胜负互不影响．
(1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率；
(2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率．
18．如图，已知四棱锥是正四棱锥，为底面的中心，为的中点．用空间向量法求解下列问题．

(1)若，求直线与平面所成角的大小；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知在四棱柱中，，，平面，是的中点，是的中点．用空间向量法求解下列问题．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
参考答案
1．C
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为，含有6个等可能的样本点，
事件“落地后向上一面的数字是偶数且不小于4”为，含有2个等可能的样本点，
所以所求的概率为.
故选：C
2．B
【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”，
则，
可得，
又，
所以.
故选：.
3．C
【详解】由已知，
点到平面的距离为，
故选：C．
4．C
【详解】设“甲投篮1次命中”为事件A，“乙投篮1次命中”为事件B，“甲、乙各投篮1次，两人共命中1次”为事件C，
由题意，则，
又，
所以.
故选：C
5．A
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故的最小值为.
故选：A
6．A
【详解】因为，所以.
所以，
所以，即的长为．
故选：A
7．C
【详解】对A，若，则，，A错；
对B，若，则，，B错；
对C，若，则，，C正确；
对D，若，则，即，此时，故不成立，D错．
故选：C．
8．B
【详解】三棱锥中，两两垂直，且，
点分别为棱的中点．根据勾股定理可得，
，，
在中，结合余弦定理可得，
即，解得，
①因为两两垂直，所以，
因为是平面内两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以；①正确.
②因为两两垂直，所以，
因为是平面内两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以；因为，，
根据勾股定理可得，②错误.
③设点到底面的高为，等体积法有，
即，解得，
所以侧棱与底面所成角的正弦值为；③正确.
④如图建立空间直角坐标系，，
有，
所以，
因此直线与所成角的正弦值为；④错误.

故选：B.
9．ACD
【详解】根据题意，抛掷两次，则样本空间 ，共有36个样本点．
事件的样本空间 ；
事件的样本空间 ，， ；
事件的样本空间 ；
因为事件的样本空间，
事件与事件能同时发生，所以与不互斥，故A正确；
事件有11个样本点，所以，故B错误；
事件有6个样本点，所以，故C正确；
因为事件的样本空间，有2个样本点，所以故D正确；
故选：ACD
10．AD
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
可得，，
对于A，因为，所以，
又平面，平面，所以平面，正确；
对于B，因为，所以与不垂直，
又因为平面，所以与平面不垂直，错误；
对于C，设平面的一个法向量为，
则，令，所以，
，所以点到平面的距离为，错误；
对于D，因为，
所以为平面的一个法向量，所以平面，
由正方体的性质知，四边形是矩形，且，
点关于平面对称，且，
所以矩形的面积为，四棱锥的高，
所以四棱锥的体积为，正确.
故选：AD
11．ACD
【详解】记2位男生分别为，3位女生分别为，第一位出场的有5种等可能的结果，
对应第一位出场的每个可能结果，第二位出场的都有4种等可能的结果，
将前两位出场的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格表示如下：
第一位出场的是男生的可能结果有8种（表中第1、2行），所以，故A正确；
第二位出场的是女生的可能结果有12种（表中第3、4、5列），所以，故B错误；
事件，有6种结果，所以，故C正确；
事件表示第一位出场的是女生，故事件，有6种结果，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【详解】如图，设分别为的中点，连接，

由题意得，在中，，且，
在正方形中，，
则的为二面角的平面角，即，
所以.
故答案为：
13．/
【详解】在这20组随机数中，代表甲恰好获胜一盘的数组有：，共10组.
所以甲恰好获胜一盘的概率为：.
故答案为：
14．
【详解】因为正方体，
所以平面平面，
因为平面平面，
平面平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离，
连接，取中点F，连接EF，如图所示，

则，，
，
所以，
所以，
，
设B到平面的距离为h，
因为，
所以，
即，解得，
所以直线到平面的距离为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的，
所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为；
（2）将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；
这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作；由题意得，，
所以，，，，，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，.
又，，.
所以，
.
所以，，又平面，，
所以直线平面.
（2）因为，
且，所以；
，所以；
且，
所以.
即直线和夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件，
记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件，
所以，
所以.
（2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件，
所以，
所以
.
即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题可知四边形是正方形，且底面.
因为平面，所以.
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设底面边长为，则，，
所以则.
所以.
设平面的一个法向量为，
则，所以.
令，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以，即直线与平面所成角为.
（2）由（1）分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

因为，所以.
因为，所以，
所以
则.
所以.
设平面的一个法向量为，
则，所以.
令，则，.
设平面的一个法向量为，
则，所以.
令，则，，
故.
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）已知，平面，
以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

又，是的中点，是的中点，
则，，，，
有，有，
设平面的一个法向量分别为，
则，
令，得，
所以，所以
则，
因为不在平面内，则平面.
（2）由（1）得，
则，
设平面的一个法向量分别为，
则
令，得，
所以，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（1）及已知，，平面的一个法向量为，
得，生产方式
工作时间（单位：min）
第一种
68
72
76
77
79
82
83
83
84
85
第二种
65
65
66
68
69
70
71
72
72
73
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
A
A
C
B
ACD
AD
题号
11









答案
ACD









第一位
第二位
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