山东省德州市五校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省德州市五校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若命题，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
4．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则
B．已知，，，则
C．若，则
D．若，则
5．若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．1
6．关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．某同学调查了本校若干同学暑假观影情况，结果显示：有63人观看了《南京照相馆》，有89人观看了《浪浪山小妖怪》，有47人观看了《长安的荔枝》，这三部电影都观看了的有24人，有46人仅观看了其中的两部，有10人未观看任何一部，则接受调查的同学共有（ ）
A．139人B．120人C．115人D．95人
8．已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．是的充要条件
B．是的必要条件
C．四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的充分条件
D．两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件
10．下列不等式的解集正确的是（ ）
A．的解集是B．的解集是
C．的解集是D．的解集是
11．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．
D．当时，设关于的方程的解分别为，则
三、填空题
12．已知集合，且，则实数为 ．
13．关于的方程的解集是空集， ．
14．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．设全集，集合，
(1)若，求集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．已知a，b，c是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为．
(1)判定的形状；
(2)若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围．
17．已知命题，命题．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求的取值范围．
18．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求不等式的解集.
19．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.
(1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式；
(2)证明你提炼出的不等式；
(3)求证：且.
1．D
解不等式求得集合A，与集合B取交集即可．
【详解】或，
又，则．
故选：D．
2．B
根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】命题，则，
故选：B.
3．A
作差配方即得结果.
【详解】，
，
由于 ，，
所以：，
因此 .
故选：A
4．B
根据不等性质分别判断各选项.
【详解】A选项：当时，，A选项错误；
B选项：因为，，，
所以，
所以，则，B选项正确；
C选项：若，则，C选项错误；
D选项：当，时，，D选项错误．
故选：B.
5．C
将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值.
【详解】，消去，得，
因为方程组只有一组解，所以只有一个解，
所以，解得．
故选：C
6．A
先求解不等式得到，关于a的表达式，再结合求出a的值．
【详解】不等式可转化为，
因为，所以，所以可解得，
即不等式的解集为，
从而，
因为，所以，解得．
故选：A．
7．C
根据题意用图表示题设中的集合关系，列出方程即可求解．
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》，《浪浪山小妖怪》，《长安的荔枝》的同学分别用集合A，B，C表示，
则．
设接受调查的同学的总人数为n，
既观看了《南京照相馆》，又观看了《浪浪山小妖怪》的人数为x，
既观看了《浪浪山小妖怪》，又观看了《长安的荔枝》的人数为y，
既观看了《南京照相馆》，又观看了《长安的荔枝》的人数为z，
如图所示，用图表示题设中的集合关系，
则．
又有10人未观看任何一部，则
，
解得，
故接受调查的同学共有115人．
故选：C．
8．D
根据A中元素个数及新定义得或，分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解a的取值集合．
【详解】由题意得，，所以，从而或．
方程的根由的根共同构成．
当时，
方程可化为，
因为恒成立，所以方程的根为，此时，满足条件．
当时，
方程的根为，方程的根为，方程的判别式，
当时，方程只有一个实根，
则必有，解得，
此时方程的判别式，方程无实根，
此时，满足条件．
当时，方程有3个不等的实根，
上面已经考虑了的情形，以下只需考虑的情形，此时，
所以方程有两个相等的实根且不为1和，
则，解得，
当时，方程即有两个相等的实根1，
此时，不符合题意；
当时，方程即有两个相等的实根，
此时方程有3个不等的实根：，
此时，符合题意，
综上，a的所有可能取值为，即所求集合为．
故选：D．
9．AD
根据不同条件对应的推出关系逐项判断即可.
【详解】对于A：，，
因为不同时取，所以，所以，
所以是的充要条件，故A正确；
对于B：当时，则，所以不能推出，所以不是的必要条件，故B错误；
对于C：例如四边形为筝形，满足对角线互相垂直，但此时四边形不是菱形，故C错误；
对于D：两个三角形的两组对应角相等，则两个三角形的三组对应角都相等，故两个三角形相似，
反之，如果两个三角形相似，则三组对应角都相等；
由此可判断两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件，故D正确，
故选：AD.
10．ABD
分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比选项即可.
【详解】对于A，由得，则，解集是，故A正确；
对于B，由得，解得，解集是，故B正确；
对于C，由得，则，解得，
即不等式的解集为，故C错误；
对于D，由得，即，
则，即，
解得，故不等式的解集是，故D正确，
故选：ABD.
11．ACD
由一元二次不等式的解法可得到的关系式，然后分别用表示出来，即可判断选项A，对于选项BCD，代入，表示成关于的函数，再判断.
【详解】由题意知：一元二次方程的根为 和 ，
由一元二次不等式的解法可得到：，
故选项 A 正确；
对于选项 B：把代入得：，
当 时，，又则 ，故选项 B 错误；
对于选项 C：把代入得：
，
由于 ， 且 ，有：，
，因此，选项 C 正确；
对于选项 D：令 ，则方程化为：根为 和 ，
当 时，根均为正，得：，
和为：，
比较：，
故 ，因此选项 D 正确.
故选：ACD
12．1
由题意得或，解方程并根据元素的互异性检验即可．
【详解】因为集合，且，
所以或，解得或，
当时，，不合题意；
当时，集合，满足题意，
综上．
故答案为：1．
13．/0.5
化简方程，分类讨论解方程即可求解．
【详解】由方程整理得，
当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意；
当，即时，由得且，
解得且，因为方程的解集为空集，故即．
故答案为：.
14．
解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解，数形结合，可求得的取值范围.
【详解】由，得：
，
当时，解为：
如图：要使解集中有且仅有一个整数，
只需：，故；
当时，解为：
如图：要使解集中有且仅有一个整数，
只需：，故；
当时，解为，不符合题意.
综上： 的取值范围为 .
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）先求出，再求即可；
（2）分和两种情况求解即可
【详解】（1）解：当时，；
或，又因为，
所以
（2）解：由题意知，需分为和两种情形进行讨论：
当时，即，解得，此时符合，
当时，因为，
所以或，解之得.
综上所述， a的取值范围为
16．(1)等边三角形
(2)或
（1）根据一元二次方程根的判别式和一元一次方程的解，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状；
（2）根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，求出a的取值范围．
【详解】（1）∵方程的解集中只有一个元素，
∴，即．
∵方程的根为，
∴，即．
将代入，可得，从而，
∴是等边三角形．
（2）∵，
∴方程可化为，
即．
∵方程有两个不相等的正实数根，设两根为，
∴，即，
即，解得或，
即a的取值范围是或．
17．(1)
(2)
（1）分情况讨论是否为0．当时，直接判断不等式是否恒成立；当时，利用判别式来确定a的取值范围；
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，再求出命题p和命题q都为假命题时a的取值范围，进而可得答案．
【详解】（1）当，即时，不等式化为，符合题意；
当时，要使成立，
则，即，解得，
综合可得，
综上可知，命题为真命题时，实数a的取值范围是．
（2）命题，即，
因为时，，所以，
命题p为真时，命题q为真时．
命题p和命题q至少有一个为真命题的否定是命题p和命题q都为假命题．
命题p为假时，命题q为假时，
所以命题和命题q都为假命题时，
那么命题和命题q至少有一个为真命题时．
18．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知的两根为和，
所以由根与系数的关系得，
解得.
（2）当时，则，解得；
当时，，
当时，则，解得或；
当时，则，
当时，即，解，得；
当时，即，解，得；
当时，即，解，得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．(1)；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）提炼出的不等式为.
（2）.
因为都是正数，且，
所以，可得，所以.
（3）由（2）可知.
取 ，则 ，故有 ，
则有，
先证明右边：
因为，
所以
，
故.
再证明左边：
因为，
所以
，
故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
C
A
C
D
AD
ABD
题号
11









答案
ACD