重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高一上学期第三次定时作业数学试题（Word版附解析）

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数学
（满分 150 分，120 分钟完成）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 命题“ 的内角都大于 ”的否定是（ ）
A. 的内角都不大于 B. 的内角都小于
C. 中至少有一个内角不大于 D. 中至少有一个内角小于
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合命题否定的概念，准确改写，即可求解.
【详解】根据命题否定的概念，可得命题“ 的内角都大于 ”的否定是“ 中至少有一个内
角不大于 ”.
故选：C.
2. 下列所给图象是函数图象的有（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ① D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的概念可选出答案.
【详解】根据函数的概念，任意的一个自变量 ，都有唯一确定的函数值 与之对应
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故满足的有③④
故选：D
【点睛】本题考查的是函数的概念，较简单.
3. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 ，进而可求函数 的定义域.
【详解】若函数 有意义，则 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C.
4. 下列函数中，值域是 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断.
【详解】对于选项 A：当 时， ，即值域有 0，故 A 错误；
对于选项 B，因为 ，即值域没有 1，故 B 错误；
对于选项 C：函数的定义域为 ，所以函数值域不连续，故 C 错误．
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对于选项 D：因为 的取值范围是 ，所以函数的值域为 ，故 D 正确．
故选：D．
5. 下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可.
【详解】A 项： 和 的定义域均为 ，对应法则也相同，所以 和 是同一个函数；
B 项： 的定义域为 的定义域为 ，所以 和 不是同一个函数；
C 项： ，其中 ，即 ，其中 0，即 ，
所以 和 的定义域不同，故 和 不是同一个函数；
D 项： 和 的定义域均为 ，但 ，
而 对应关系不同，所以 和 不是同一个函数．
故选：A
6. 若 、 为实数，则“ ”是“ 或 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，若 ，则 ，此时有 ，
若 ，则 ，此时有 ，
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所以，若 ，则“ 或 ”，
即“ ” “ 或 ”；
若“ 或 ”，若 ，不妨取 ， ，则 ；
若 ，不妨取 ， ，则 .
所以，“ ” “ 或 ”.
因此，“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先解含绝对值的不等式求得参数，再解高次不等式即可.
详解】由|x－3|＜4，得－1＜x＜7，
∵不等式|x－3|＜4 解集为{x|a＜x＜b}，
∴a＝－1，b＝7，
∴由 ，
得 ，
∴ ，
则 或 ，
∴不等式的解集为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值不等式和高次不等式的解法，属于中档题.
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8. 若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为 ，
所以由题意
，
因为 ，所以 ，
所以由基本不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，即当且仅当 或 时等号成立，
综上所述， 的最小值为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到
取等条件的成立与否.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
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【解析】
【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.
【详解】解：A 项，若 ，取 ，可得 ，故 A 不正确；
B 项, 若 ,可得： ，故 ，故 B 正确；
C 项，若 可得 ，由 可得： ，故 C 正确；
C 项，举反例，虽然 ，但是 ，故 D 不正确；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 若 ，则 的最大值为
C. 二次不等式 的解集为 ，则 的值为 6
D. 命题“ ，使得 ．”的否定为“ ，使得 ．”
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断 A，结合二次函数性质判断 B，利用一元二次不等式的性质判断 C，根据命
题的否定的定义判断 D．
【详解】对 A，若 满足 ，但 ，不充分 ，同理若 ，满足 ，但
不满足 ，因此本题是既不充分也不必要条件，A 错；
对 B， ， ， 时， 取得最大值 ，B 错；
对 C，二次不等式 的解集为 ，则 的两根为 和 ，因此
， ，则 ，所以 ，C 正确；
对 D，由存在量词命题的否定是全称量词命题知：命题“ ，使得 ．”的否定为“ ，
使得 ”，D 错．
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故选：ABD．
11. 若 a， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为 4
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式依次判断即得.
【详解】由 a， ， ，可得 ，
对于 A， ，当且仅当 ，即 取等号，所以 ，同理 ，故
，故 A 错误；
对于 B，∵ ，当且仅当 ，
即 时取等号，
∴ ，即 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C， ，当且仅当 ，即 时
取等号，故 的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D，由题可得 ， ，
∴ ，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
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∴ ，即 的最大值是 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 ，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】令 可求解.
【详解】令 得： .
故答案为：6
13. 已知函数 满足 ，则函数 的解析式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，用 代替 ，得到 ，联立方程组，即可求解.
【详解】由 ，
用 代替 ，可得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 .
故答案为： .
14. 若 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据题中所给等式可化为 ，再通过平方关系将其与 联系起来，运用基本不等
式求解最小值即可.
【详解】因为 且 ，则两边同除以 ，得 ，
又因为 ，当且仅当 ，即
时等号成立，所以 .
故答案为:
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1） ，比较 M，N 的大小．
（2）求函数 （ ）的值域．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，即可比较大小；
（2）将 化为 ，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
因为 ，所以 ，
故 ，当 时等号成立，
所以 ；
（2）由题意知 ，则 ，
由于 ，故 ，故 ，
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当且仅当 ，即 时取等号，
即 ，即函数 （ ）的值域为 .
16. （1）已知 是一次函数且 ，求 的解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由函数 为一次函数可设 ，再结合条件列方程求 、 ，由此可得
结论;
（2）可先对 进行变形，用 表示，再根据换元法求出 的解析式.
【详解】（1）因为 是一次函数，
可设 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以 的解析式是 ；
（2）因为 ，
所以 ,
令 ，由均值不等式 （当且仅当 ，即 时取等号），可知
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,
则 ，所以 .
17. 已知集合 ，集合 ， ．
（1）若 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，先求出集合 ，再利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得 ，再对 进行讨论，求出集合 ，即可求解
【小问 1 详解】
由 ，得到 ，解得 ，所以 ，
由 ，得到 ，
因为 ，则 的解集为 ，所以 ，
则 .
【小问 2 详解】
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
又 ， ，
若 ，则 ，此时不满足 ，
若 ，则 ，此时不满足 ，
若 ，则 ，又 ，则 ，
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综上所述，实数 的取值范围为 .
18. 果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入 4 万元．为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计
划在今年投入 x 万元用于改良品种.根据其他果衣种植经验发现，该水果年产量 （万斤）与用于改良品种
资金投入 x（万元）之间的关系大致为： ，（ ，m 为常数），若不改良品种，年产量为 1
万斤．该水果最初售价为每斤 4 元，改良品种后，售价每斤提高 元．假设产量和价格不受其他因素的影
响．
（1）求 m 的取值；
（2）设该果农种植该水果所获得的年利润为 y（万元），试求 y 关于资金投入 x（万元）的函数表达式，并
求当果农种植该水果所获得的利润不低于 4 万元时，实数 x 的取值范围．
（3）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大?最大是利润是多少?
【答案】（1）2 （2）
（3） ； 万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出 时， ，代入 ，解出 ；
（2）先根据已知条件列出利润 关于 的表达式，再结合利润不低于 4 万元列出不等式求解；
（3）先对利润表达式进行变形，再利用基本不等式求解．
【小问 1 详解】
若不改良品种，年产量为 1 万斤，
时， ，即 ，解得 ．
【小问 2 详解】
年产量 万斤，改良后售价 元/斤，总成本 万元，
利润
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，
若利润不低于 4 万元，则 ， ，
，化简并整理得 ，
解得 ，
．
【小问 3 详解】
，
，当且仅
当 ，即 时取等号，
投入 万元时，获得最大利润，最大利润为： 万元．
19. 已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，解关于 的不等式 ；
（3）当 时，不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分为 ，以及 讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案；
（2）原不等式可化为 ．先求解 的解集，进而解出 时，得出
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的解集．然后分为 与 ，结合 的范围得出两根的大小关系，进而
得出答案；
（3）不等式转化为 ，分离参数得出 ，换元 ，整理得出
，进而根据基本不等式，得出 ，即可得出范围．
【小问 1 详解】
①当 ，即 时，原不等式化为 ，解集为 ，不合题意；
②当 ，即 时，
的解集为 R，即 的解集为 R，
则应有 ，
即 ，解得 ．
综上， 的取值范围是 ．
【小问 2 详解】
由已知可得 ，
即 ，即 ．
当 时，即 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，有 ，
解方程 ，可得 或 ．
①当 ，又 可得 时，即 时，有 ，
则解不等式 可得， 或 ；
②当 ，即 时有 ，
解不等式 可得， ．
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综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
小问 3 详解】
不等式 ，即 ，
即 ．
由 恒成立，则 在 时有解，
设 ， 时有 ，
，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，实数 的取值范围为 .
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