2025-2026学年重庆外国语学校（B区）高二（上）第三次定时作业数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年重庆外国语学校（B区）高二（上）第三次定时作业数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“直线ax−(a+6)y+8=0与3x−ay+a−5=0平行”是“a=6”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
2.若直线l的方向向量是(1,sinθ)，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A. [0,π)B. [0,π4]C. [π4,3π4]D. [0,π4]∪[3π4,π)
3.已知实数x，y满足y=15x−35，且−2⩽x⩽3，则y−2x+1的取值范围( )
A. (−∞,−12]∪[3,+∞)B. [−12,3]
C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. [−1,3]
4.已知直线5x+12y−3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是( )
A. 1B. 2C. 12D. 4
5.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//mB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C. 若l⊥α，α⊥β，则l//βD. 若l//α，m⊥α，则l⊥m
6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x−a)2+(y−b)2可以转化为点(x,y)到点(a,b)的距离，则 x2+1+ x2−4x+8的最小值为( )
A. 3B. 2 2+1C. 2 3D. 13
7.已知三棱锥S−ABC底面边长均为3，侧棱SA=2，且SA⊥平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为( )
A. 2B. 52C. 3D. 3
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD= 2，∠ADB=45°，现将△ABD沿直线BD翻折至△PBD，使得点A到达点P的位置，且二面角P−BD−C的平面角等于45°，则直线PD与平面BCD所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A(2,3)，B(4,−5)到直线l的距离相等，且l过点P(1,2)，则l的方程可能是( )
A. x+4y−6=0B. 4x+y−6=0C. 2x+3y−7=0D. 3x+2y−7=0
10.已知△ABC的三个顶点A(2,−1)，B(−2,7)，C(−2,1)，则下列描述正确的有( )
A. 直线BC的倾斜角不存在
B. 直线AB的斜率为−2
C. 边AB上的高所在直线的方程为x−2y+4=0
D. 边AB上的中线所在直线的方程为x−y+3=0
11.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均为4，D，E，F，G分别在棱A1B1，A1C1，AB，AC上，(不与端点重合)且A1D=A1E=BF=CG，H，P分别为BC，A1H中点，则( )
A. B1C1//平面PFG
B. 过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C. M在△A1B1C1内部(含边界)，∠A1AM=π6，则M到棱B1C1距离的最小值为23 3
D. 若M，N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MNP周长的最小值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点A(3,−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ．
13.直线2x−y−4=0上有一点P，它与两定点A(4,−1)、B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是______．
14.正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦)，P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．
16.(本小题15分)
已知直线l：2x−3y+1=0，点A(−1,−2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x−2y−6=0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(−1,−2)对称的直线l′的方程．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 3sin(A+C)−csB=1．
(1)求B；
(2)若b=4，△ABC的面积为4 3，D为AC边上一点，满足AC=3AD，
①求△ABC的周长；
②求BD的长．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，△PCD是正三角形.已知AB=4，AD=BC=CD=2，PB= 10．
(1)证明：平面PCD⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，PO= 3，AB=2，平面PAB∩平面PCD=l．
(1)求证：l//AB；
(2)如图，M∈l且PM= 3，求点M到平面PBC的距离；
(3)设四棱锥P−ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为3 10535？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：若直线ax−(a+6)y+8=0与3x−ay+a−5=0平行，
则−a2=−3(a+6)，解得a=−3或a=6，
当a=−3时直线−3x−3y+8=0与3x+3y−8=0重合，故舍去；
当a=6时直线6x−12y+8=0与3x−6y+1=0平行，符合题意；则充分性成立；
当a=6时，直线ax−(a+6)y+8=0与3x−ay+a−5=0平行，则必要性成立；
所以“直线ax−(a+6)y+8=0与3x−ay+a−5=0平行”是“a=6”的充分必要条件．
故选：C．
根据两直线平行求出参数的值，即可判断．
本题考查直线平行与充要条件间的关系，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求直线的斜率与倾斜角，属于基础题．
根据直线的斜率k=sinθ，求出k的取值范围，求出α的取值范围即可．
【解答】
解：若直线l的方向向量是(1,sinθ)，
则直线l的斜率k=sinθ，
则−1≤k≤1，则0⩽α⩽π4或3π4⩽α