湖南省部分高中名校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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1. 函数的最小正周期为（ ）
A B. C. D.
2. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为直线一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确是（ ）
A.
B. 与过同一个定点
C. 若，则与关于轴对称
D. 若与交于点，则为定值
10. 已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则
B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为
C. 若与圆仅有一个公共点，则
D. 若与圆有两个公共点，则
11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A 若，，则
B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则_____.
13. 已知且，若是偶函数，则_____.
14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等.
（1）求直线的方程；
（2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值.
17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且.

（1）证明：；
（2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点.
（1）求的最小值，并求取最小值时的方程；
（2）若为锐角，为坐标原点，求的取值范围.
19. 已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，.
（1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率；
（2）当取最小值时，求四边形的周长；
（3）证明：直线过定点.