湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 对应 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为（ ）
A. B. C. D.
3. 国庆 8 天小长假过后，某同学统计了该年级 3 个班级的同学在假期旅游去过的城市个数分别为 12，15，
18，则这三个数据的方差为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 设空间向量 ．若 不能构成空间向量的一组基底，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
7. 已知圆台 上、下底面圆均在体积为 的球 的球面上，若圆台 的下底面圆的半径与母线
长均为上底面圆半径的 2 倍，则该圆台的表面积为（ ）
A B. C. D.
8. 已 知 空 间 向 量 ， 向 量 ， 其 中
，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分．
9. 已知正数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知平行六面体 各个面均为含 内角的菱形，设 ， ，
且 ， 之间的夹角为 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 空间内不重合的两平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，已知
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，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， 与 共线 D. 当 时， 与 相交
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设直线 与直线 平行，则 ___________．
13. 已知集合 ，则 ___________（用区间的形式表示）．
14. 空间内不共面的三条直线 满足 ，且 ，记 ，
已知 ，则 ___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ．
（1）求过点 ，且与 垂直的直线的斜截式方程；
（2）求过 与 的交点，且在两坐标轴上的截距和为 0 的直线的一般式方程（该直线的截距均不为 0）．
16. 如图，在几何体 中，底面 为平行四边形， 平面 ，平面 平面
．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 是边 上异于端点的动点，且 ，求 的最小值．
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18. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 和 分别为棱 和 的中点．平面 经过
点 ，设平面 与 分别交于 两点．
（1）求点 到平面 距离；
（2）求 ，并证明： 平面 ；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ， ，
为线段 上一动点．
（1）证明： 平面 ；
（2）已知 四点均在球 的球面上．
（i）证明： 三点共线；
（ii）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度．
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