2025-2026学年四川省达州市宣汉县双河中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年四川省达州市宣汉县双河中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将一元二次方程（x+1）（x-1）=x化成一般形式正确的是（ ）
A. x2-x+1=0B. x2-x-1=0C. x2+x+1=0D. x2+x-1=0
2.下列命题中，
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④菱形的每一条对角线平分一组对角.
其中真命题有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
4.如图，在矩形ABCD中，AC与BD的交点为F，AE⊥BD，且BE=EF，则∠ACB的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
5.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A. 32×20-32x-20x=540B. （32-x）（20-x）+x2=540
C. 32x+20x=540D. （32-x）（20-x）=540
6.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF.若∠ABE=36°，则∠CFD的度数为（ ）
A. 85°
B. 82°
C. 81°
D. 70°
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，则=（ ）
A.
B.
C.
D. 3
8.若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）-2x1x2=17，则m=（ ）
A. 2或6B. 2或8C. 2D. 6
9.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分（ ）
A. 2
B. 4
C. 2或4
D. 2或6
10.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有以下结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为；其中正确结论的序号为（ ）
A. ②③④
B. ①②③
C. ①②③④
D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，则该等腰三角形的周长为______.
12.如图，点A、点D在直线BC两侧，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别是B、C，AB=2，BC=4，CD=1，则线段AD的长为 .
13.在解关于x的一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c,得到的解为x1=4，x2=5.请你写出正确的一元二次方程： .
14.如图，矩形ABCD中，CD=8，BC=15，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 .
15.如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
解下列方程：
（1）2x2-5x-3=0；
（2）x2-1=2（x+1）.
17.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD=AF，求证：四边形ABFC是矩形．
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18.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-1=0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+-x1x2=9，求m的值.
20.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥BD，求AE的长度.
21.(本小题9分)
某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，经调查发现，这种台灯的售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个（40≤x≤60）．
（1）求每月销售量y（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？
22.(本小题9分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接AE、CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求△ADE的面积.
23.(本小题9分)
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
24.(本小题9分)
阅读材料，解答问题：
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=-1.
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a,b满足：a2-5a+1=0，b2-5b+1=0且a≠b,则a+b= ______，ab= ______；
（2）间接应用：
已知实数m,n满足：2m2-7m+1=0，n2-7n+2=0，且mn≠1，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数p,q满足：p2-2p=3-t,且p≠q,求（q2+1）（2p+4-t）的取值范围.
25.(本小题9分)
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.直接写出AE与EP的数量关系______.
（2）如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，求∠DCP的大小.
（3）如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP，当时，求出△ADP周长的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】7或8
12.【答案】5
13.【答案】x2-9x+6=0
14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】解：（1）∵a=2，b=-5，c=-3，
∴Δ=（-5）2-4×2×（-3）=49＞0，
则x==，
∴x1=3，x2=-；
（2）∵（x+1）（x-1）-2（x+1）=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
则x+1=0或x-3=0，
解得x1=-1，x2=3．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB=EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
在▱ABCD中，AD=BC，
又∵AD=AF，
∴BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
18.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x=1代入方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0得：a+c-2b+a-c=0，
∴2a=2b，
∴a=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∵（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，
∴（a+a）x2-2ax+a-a=0，
即x2-x=0，
解得：x1=0，x2=1，
即这个一元二次方程的根是x1=0，x2=1．
19.【答案】解：（1）x2-（m+2）x+m-1=0，
这里a=1，b=-（m+2），c=m-1，
Δ=b2-4ac
=[-（m+2）]2-4×1×（m-1）
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2-（m+2）x+m-1=0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2=m+2，x1x2=m-1．
∵+-x1x2=9，即（x1+x2）2-3x1x2=9，
∴（m+2）2-3（m-1）=9．
整理，得m2+m-2=0．
∴（m+2）（m-1）=0．
解得m1=-2，m2=1．
∴m的值为-2或1．
20.【答案】见解答；
AE=
21.【答案】解：（1）依题意得：y=600-10（x-40），
即y=-10x+1000（40≤x≤60）．
（2）依题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000，
整理得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80（不合题意，舍去）．
当x=50时，y=-10x+1000=-10×50+1000=500．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OC=OA=1/2AC，
∵DE=1/2AC，
∴DE=OC，
又∵DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED为矩形；
（2）解：过点E作EH⊥AD，交AD的延长线于H，如下图所示：

∵四边形ABCD为菱形，且边长为4，∠BCD=60°，
∴AB=BC=CD=DA=4，AC平分∠BCD，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠DCA=∠BCA=∠BCD=30°，
在Rt△OCD中，CD=4，∠DCA=30°，
∴OD=CD=2，
由勾股定理得：OC=，
由（1）可知：四边形OCED为矩形，
∴DE∥OC，DE=OC=，
∴∠EDC=∠DCA=30°，
∵AD∥BC，∠BCD=60°，
∴∠CDA=180°-∠BCD=120°，
∴∠EDH=180°-∠CDA-∠EDC=180°-120°-30°=30°，
在Rt△DEH中，∠EDH=30°，DE=，
∴EH=DE=√3，
∴S△ADE=AD•EH==．
23.【答案】解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
24.【答案】（1）5，1；
（2）∵n2-7n+2=0，两边同除以n2，得-+1=0，即2（）2-7（）+1=0，
又∵2m2-7m+1=0，且mn≠1，
∴m与为方程2x2-7x+1=0的两实数解，
∴m+=，
∴=，
∴mn=n-1，
∴===；
（3）∵实数p,q满足：p2-2p=3-t,且p≠q,
∴p、q是方程x2-2x=3-t的两个不相等的实数根，
∴p2-2p=3-t,pq=t-3，p+q=2，
∴p2+1=2p+4-t,
∴（q2+1）（2p+4-t）
=（q2+1）（p2+1）
=（pq）2+（p2+q2）+1
=（pq）2+（p+q）2-2pq+1
=（t-3）2+4-2（t-3）+1
=t2-8t+20
=（t-4）2+4≥4．
25.【答案】EA=EP，理由见详解， ∠ DCP=45°， ．