【02-暑假预习】第08讲 基本不等式（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)

这是一份【02-暑假预习】第08讲 基本不等式（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)，共24页。试卷主要包含了基本不等式，ab≤≤，5/70/2等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：4大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 基本不等式
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
知识点2 两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
知识点3 利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
注意：
1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0，b>0).
知识点4 基本不等式的拓展
三元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当a=b=c时取等号。
多元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当时取等号。
考点一 利用基本不等式比较大小
1．已知，设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【详解】，当且仅当时，等号成立，故.
2．已知，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
故选：A.
（多选题）3．已知，下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。
对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确.
对于选项C：当时，，故C错误.
对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确.
故选：ABD
（多选题）4．已知a，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，B：由题知，，
所以，当且仅当时取等号，
因为，则，即，故， A错误， B正确；
对于C，D：因为，所以，
当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误．
故选：BC
考点二 由基本不等式证明不等关系
1．已知．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证.
展开得，已知，所以即证，
也就是证，即证.
对于，有，已知，所以，则，
当且仅当时等号成立.
所以得证.
（2）根据二项式，将，代入可得：
整理得
因为，所以
已知，可得，即 ，当且仅当时取等号.
同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）.
将和代入可得：
，当且仅当时等号成立.
综上，若，得证.
（3）因为，所以，
以上三个式子相加得，
所以，当且仅当时等号成立，
因为，且，所以，
所以，所以.
2．（1）已知，求函数的最小值；
（2）若，， 证明: .
【答案】（1）4；（2）证明见解析
【详解】（1），，
则．
当且仅当，即时等号成立．
所以函数的最小值为．
（2），，，
即，当且仅当时等号成立．
3．（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
【答案】证明见解析；证明见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
（2）证明：∵，，，且，
∴
，当且仅当时取等号．
.
4．已知，都是正数，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明∵，都是正数，
∴，，，，，
∴，（当且仅当时等号成立）.
∴，
即，当且仅当时，等号成立.
5．（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】证明 （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
即有，当且仅当，时，等号成立.
（2）由，，都是正数，利用基本不等式可知，
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
当且仅当时，等号成立.
考点三 最值定理
（多选题）1．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】由得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，对
,
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错
因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，故的最大值为，C对
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确
故选：ACD.
2．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，且，
则
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为．
故答案为：
3．若，则的最小值是 .
【答案】/
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：
4．（1）已知正数a，b满足，求的最大值；
（2）已知，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由正数满足，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即，所以，即的最大值为；
（2）令，即，
所以，解得，所以，
因为，，可得，
所以，所以，即的取值范围为.
5．（1）已知，求的最大值；
（2）已知正实数满足，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立.
因此，当时，取到最大值.
（2）由，解得，
当且仅当时，取等号.
所以的最大值为10.
考点四 基本不等式的恒成立问题
1．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．前3个答案都不对
【答案】B
【详解】因为x，，所以，所以，
又，
当且仅当时，取等号，所以，
所以实数a的最小值是.
故选：B.
2．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】不等式恒成，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故.
故选：.
3．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
【答案】A
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
恒成立，，
解得.
故选：A.
4．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 .
【答案】6
【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6.
5．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立，
令，当且仅当，即时取等号，
所以，所以.
故答案为：.
考点五 基本（均值）不等式的应用
1．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（ ）
A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时
【答案】D
【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号．
2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案更划算B．采用第二种方案更划算
C．两种方案一样划算D．无法确定采用哪种方案更划算
【答案】B
【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算．
3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（ ）
A．黄金少给了B．黄金刚好
C．黄金多给了D．与砝码放置顺序有关
【答案】C
【详解】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克．
4．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ．
【答案】37.5/70/2
【详解】设矩形广场的长为，宽为，且，，由三角形相似得，化简得，而，当且仅当，即时，等号成立，故，故健身广场的最大面积为．
5．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】由海伦公式可知，不妨设，则，则，当且仅当，即时，等号成立．
考点六 “1”的妙用
1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．12C．D．27
【答案】C
【详解】由，，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
（多选题）3．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，A错误．
因为，所以．因为，所以0，解得，B正确．
因为，所以，所以．因为2，所以，即，C正确．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，D正确．
故选：BCD.
4．已知，且，则的最小值是 .
【答案】
【详解】因为，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
知识导图记忆
知识目标复核
1．基本不等式
2．两个重要的不等式
3．利用基本不等式求最值
4．基本不等式的拓展
1．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】解方程可依次求得，结合基本不等式可得大小关系.
【详解】由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
又，（当且仅当时取等号），.
故选：A.
2．已知,,且,则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.
【详解】




当且仅当,取等号,即,结合,
可得时,取得最小值．
故选:A.
3．函数的最小值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时取“”.
故选：B
4．已知均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【详解】解：均为正实数，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为
故选：C
5．已知正数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】条件等式求最值
【分析】利用，可求的最大值.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为8．
故选：A.
6．若、都有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选：A.
7．已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则，又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
故选：B.
（多选题）8．已知，则的值可以是（ ）
A．4B．10C．D．3
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】分和两种情况，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，当时，，当且仅当时，取等号，
当时，，当且仅当时，取等号，
所以选项ABC满足题意，
故选：ABC.
（多选题）9．下列有关最值的结论正确的是（ ）
A．当时，函数的最小值为2
B．若均为正数，且，则的最小值为4
C．若均为正数，且，则的最小值为1
D．若均为正数，且，则的最小值为2
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可.
【详解】对于A，当时，则，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，函数的最大值为，错误.
对于B，因为均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确.
对于C，若均为正数，且，
由基本不等式得，得，即，得，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确.
对于D，若均为正数，且，则，得，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确.
故选：BCD
10．若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
【答案】27
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可．
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
11．已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ．
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题意易得，代入所求式，利用基本不等式计算即得.
【详解】由题意，可得，即得，
则，
因，故，当且仅当即时等号成立，
即当，时，取得最小值8.
故答案为：8.
12．若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据全称命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值
【分析】由已知结合基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.
【详解】当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为不等式恒成立，，所以
故答案为：
13．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】基本（均值）不等式的应用、用不等式表示不等关系
【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到.
（2）首先利用基本不等式即可得到，令，得到，再解不等式即可得到答案.
【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为，
所以．
（2）因为，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
解得，∴，当且仅当，时取等号，
所以温室体积，则温室体积的最大值为．
14．（1）已知是正实数，且，求的最小值；
（2）函数的最小值为多少？
【答案】（1）；（2）
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式分析求解；
（2）利用分离常数法，结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）因为是正实数，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）因为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
15．已知，，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)3
(2)
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）利用基本不等式，可得答案；
（2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.
【详解】（1）由，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值是3．
（2）由，得，即．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】(1)18
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可.
【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以的值为18.
（2）设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
教材习题01
设，，求证下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
解题方法
（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，命题得证.
（2）要证明，只用证明，
只用证明，
因为，
当且仅当时取得等号，所以成立，
则成立，命题得证.
（3），
当且仅当时取得等号，
所以，命题得证.
（4）因为，，
所以要证，只用证，
只用证，根据基本不等式可知显然成立，
当且仅当时取得等号，
所以成立，命题得证.
【答案】证明见解析
教材习题02
（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
解题方法
（1）设两正数为，则，
由基本不等式得，，
当且仅当时等号取到，
即当两个正数都取时，它们的和最小，最小为.
（2）设两正数为，则，
由基本不等式得， ，
当且仅当时等号取到，
即当两个正数都取时，它们的积最大，最大为.
【答案】（1）当两个正数都取时，它们的和最小；（2）当两个正数都取时，它们的积最大
教材习题03
某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减小到最少．假设罐装饮料筒为圆柱体，上、下底半径均为r，高为h，体积为定值V，上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍．试问：当r与h之比是多少时，用料最少？（可以到市场上进行调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果）
解题方法
圆柱底面积为，则．
上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍，设侧面厚度为1个单位，则上、下底厚度为2个单位，
则所用材料的量值为：
，
当且仅当时等号成立，这时，解得．
故.
【答案】