专题02 分解因式-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

这是一份专题02 分解因式-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义，文件包含专题02分解因式教师版-2024年新高一初升高数学暑期衔接讲义docx、专题02分解因式学生版-2024年新高一初升高数学暑期衔接讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

知识点1：十字相乘法
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.
要点诠释：(1)在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，
则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号；
(2)若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即
，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间”
(2)二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
知识点2：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2、符号语言：
3、提公因式的步骤：
(1)确定公因式 (2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)
4、注意事项：因式分解一定要彻底
知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
【题型归纳目录】
题型一：十字相乘法
题型二：提取公因式法与分组分解法
题型三：关于x的二次三项式的因式分解
【典例例题】
题型一：十字相乘法
例1．(2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习)由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
(1)尝试：分解因式：__________________；
(2)应用：请用上述方法解方程：．
【解析】(1)，
故答案为：2，5；
(2)原方程可化为，
∴或，
解得：，．
例2．(2023·浙江·七年级专题练习)阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】(1)∵，，
∴；
故答案为：；
(2)∵，，
∴；
故答案为：；
(3)∵，，
∴；
故答案为：；
(4)∵，，
∴；
故答案为：．
例3．(2023·江苏·七年级期中)阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如分解图)，这样，我们就可以得到：
某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项－3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况(如下分解图)，求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况(就是方框框起的两种情况)．所以得到：或．
十字相乘法公式：(其中，a，b，c，d为常数)
阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图．
(1)
(2)
【解析】(1)分解图如下：
∴；
(2)分解图如下：
∴．
变式1．(2023·全国·八年级期末)仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．参考答案
设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为．
(1)若二次三项式可分解为，则 ；
(2)若二次三项式可分解为，则 ；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【解析】(1)由题意得：，
所以，
所以，
解得，
故答案为：4．
(2)由题意得：，
所以，
所以，
故答案为：1．
(3)设另一个因式为，
则，
所以，
所以，，
解得，，
所以另一个因式是，的值为．
变式2．(2023·湖南邵阳·七年级统考期中)阅读理解题：
由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的公式：．
示例：分解因式：
分解因式：多项式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式：
(2)应用：请用上述方法将多项式进行因式分解．
【解析】(1)
，
故答案为：2，4或4，2；
(2)
．
变式3．(2023·八年级课时练习)阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：(1)；(2)．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】(1)；
(2)；
(3)．
题型二：提取公因式法与分组分解法
例4．(2023·新疆喀什·统考三模)分解因式______．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：．
例5．(2023·黑龙江大庆·统考三模)若，，则__________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
故答案为：．
例6．(2023·安徽黄山·校考一模)分解因式：_______．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
变式4．(2023·广东广州·广州市南武中学校考二模)分解因式：______．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
变式5．(2023·安徽蚌埠·校考一模)分解因式：_________．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
变式6．(2023·四川内江·校考一模)分解因式： _____________．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
变式7．(2023·全国·九年级专题练习)当时，代数式__________
【答案】
【解析】∵，，
∴
．
故答案为：0．
变式8．(2023·全国·九年级专题练习)分解因式：= ___________
【答案】
【解析】
故答案为：．
变式9．(2023·山东聊城·统考一模)分解因式：_____
【答案】
【解析】
，
故答案为：.
题型三：关于x的二次三项式的因式分解
例7．(2023·全国·九年级专题练习)分解因式：
(1)；
(2)．
【解析】(1)
；
(2)
．
例8．(2023·河北张家口·校考模拟预测)问题情景：将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上．
；；__________；
探究发现：观察以上多项式，发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为；
验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程；
____________________
∵是完全平方式，
∴__________，即．
解决问题：
①若多项式是一个完全平方式，求n的值；
②若多项式加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式．
【解析】问题情境：，
故答案为：．
验证结论：
∵是完全平方式，
∴，即．
故答案为：；(或)；(或)；
解决问题：①∵多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：；
②当添加的含字母y的单项式为中间项时，
∵，
∴此时需要添加的单项式为或；
当添加的含字母y的单项式为平方项时，
∵，
∴此时需要添加的单项式为；
综上分析可知，需要添加的含y的单项式为，或．
例9．(2023·浙江温州·七年级校考阶段练习)已知关于x的多项式因式分解后有一个因式是．
(1)求m的值；
(2)将该多项式因式分解．
【解析】(1)∵x的多项式分解因式后有一个因式是，
当时多项式的值为0，
即，
∴，
∴；
(2)∵，
∴．
变式10．(2023·江苏·七年级专题练习)分解因式
(1)．
(2)
(3)
【解析】(1)∵，
∴原式．
(2)∵，
∴原式．
(3)∵
∴原式．
变式11．(2023·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考期中)分解因式：
(1)；
(2)．
【解析】(1)原式；
(2)原式．
变式12．(2023·全国·八年级专题练习)因式分(1)
(2)
(3)
【解析】(1)
；
(2)
；
(3)
．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·陕西西安·八年级交大附中分校校考期中)多项式可因式分解成，其中a、b均为整数，则ab的值为( )
A．B．C．6D．5
【答案】B
【解析】∵
∴，即．
故选：B．
2．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试)下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、等式从左边到右边属于整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式从左边到右边把一个多项式化成整式积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．(2023·江苏无锡·七年级无锡市江南中学校考期中)下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．(2023·陕西西安·校考模拟预测)下列因式分解正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、不能进行因式分解，不符合题意；
B、，因式分解正确，符合题意；
C、，因式分解错误，不符合题意；
D、，因式分解错误，不符合题意；
故选：B．
5．(2023·广东深圳·校考二模)下列说法正确的是( )
A．五边形的外角和是
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．因式分解是正确的
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】五边形的外角和是，A错误，故不符合要求；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，B错误，故不符合要求；
，C错误，故不符合要求；
由，可得，则关于x的方程有两个不相等的实数根，D正确，故符合要求；
故选：D．
6．(2023·河北沧州·模拟预测)若，则的值为( )
A．10B．6C．5D．3
【答案】D
【解析】∵，
∴，即
∴，解得：．
故选D．
7．(2023·安徽安庆·校联考一模)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
B、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
C、，用平方差公式分解，故不符合题意；
D、，用完全平方公式分解，故符合题意；
故答案为：D．
8．(2023·安徽芜湖·统考三模)已知三个实数，，，满足，，则下列结论正确的是( )
A．，B．，C．D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，即或，故A、B结论错误，不符合题意；
∵，
∴，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故选D．
9．(2023·山东枣庄·校考一模)已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是( )
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．不等三角形
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即
∴
∴或
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：C．
10．(2023·浙江·九年级专题练习)如果能被整除，则的值是( )
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】∵
∴能被整除，
即是方程的根，
∴，解得，
∴，
∴，
故选A．
二、填空题
11．(2023·江西吉安·统考一模)已知方程的两个解分别为，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵方程的两个解分别为，
∴，，
．
故答案为：．
12．(2023·江苏宿迁·模拟预测)若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为_______________
【答案】
【解析】∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，∵．
∴．
∴．
故答案为-7．
13．(2023·安徽蚌埠·校考模拟预测)分解因式： ______．
【答案】
【解析】
．
14．(2023·江苏·模拟预测)因式分__________.
【答案】
【解析】，
，
．
故答案是．
15．(2023·黑龙江绥化·校考二模)分解因式____________________．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
三、解答题
16．(2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模)数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：
(1)是因式分解的_________(在括号内写序号)；
(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？
【解析】(1)②③
(2)提取公因式，利用平方差公式得：，
所以对应的四个字可能是“我爱四十”．
17．(2023·河北邯郸·校考三模)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数．
(1)验证和这两个数是否为神秘数；
(2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由．
【解析】(1)∵
∴和这两个数都是神秘数；
(2)是，理由如下
∵这两个连续偶数构造的神秘数为
∵取非负整数
∴由和造的神秘数是的倍数
18．(2023·河北唐山·统考二模)填空：；；_______；
发现：两个连续正偶数的平方差一定能被4整除；
论证：设“发现”中的两个正偶数中较小的为(n为正整数)，请论证“发现”中的结论；
应用：请将36表示成两个连续正偶数的平方差．
【解析】；
论证：
，
∵n为正整数，
∴两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，
应用：．
19．(2023·湖南衡阳·九年级统考期中)先化简，再求值：已知，．求代数式的值．
【解析】∵，
∴
∴
20．(2023·河北石家庄·校联考模拟预测)在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，去运算出最后结果．”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
(1)若嘟嘟同学心里想的是数，请你计算出最后结果；
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”雯雯想验证这个结论，于是，设心里想的数是，请你帮雯雯完成这个验证过程．
【解析】(1)
(2)由题意得
，
∴最后的结果为100，结论得证．
21．(2023·河北石家庄·统考二模)嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：
(1)通过计算验证能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法证明能被3整除；
(3)设是一个四位数．，，，分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”．
【解析】(1)
∴258能被3整除；
(2)
∵为整数，6为整数，
∴能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
(3)证明：
，
∵能被3整除，
∴若“”能被3整除，则能被3整除；
22．(2023·山西长治·统考一模)(1)计算：；
(2)下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式：．
原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母，表示为 ；
任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．
【解析】(1)
；
(2)原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母，表示为：；
任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为：进行乘法运算，分解因式的正确结果为：．
故答案为：，四，进行乘法运算，．
23．(2023·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考一模)仔细观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
请你根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出第(为正整数)个等式，并证明等式成立．
【解析】(1)第4个等式：，
故答案为：．
(2)第(为正整数)个等式，
证明：左边
∴左边右边
嘉淇的分析：
∵为整数，5为整数，
∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．