数学八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段13.2.2 三角形的中线、角平分线、高课后练习题

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模型一：角平分线与三角形
题型二：角平分线+平行线=等腰三角形
模型三：内外角平分线夹角
模型四：两外角平分线的夹角
模型五：一个内角一个外角角平分线的夹角
模型六：角平分线与高线夹角
【模型探究】
模型一：角平分线与三角形
【例1】．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
【答案】28°
【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
【变式1】．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，
∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
【变式2】．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.
(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
(2)若∠BOC＝，则∠BDC＝ ；（直接写出结果）
(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.
【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF
【分析】(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；
(2)由（1），可求得∠BDC的度数;
(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【详解】解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴△DEB≌△DFC（HL）
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=60゜，
∴∠BDC=∠EDF=120゜．
（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=α，
∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．
故答案为：180゜-α．
（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
题型二：角平分线+平行线=等腰三角形
【例2】．如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于 ．

【答案】13
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.
【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴DO=DB，EO=EC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．
【变式1】．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求= ．
【答案】12
【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
=
=，
故答案为：12．
【变式2】．如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)五个等腰三角形，；
(2)还有两个等腰三角形，为、，存在；
(3)有等腰三角形：、，此时，见解析
【分析】（1）图中是等腰三角形的有：、、、、共五个，根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据，即可得出；
（2）由，可得，再根据角平分线的定义得出∠1=∠2，进而得出∠1=∠3，所以为等腰三角形，在中，同理可证；
（3）由于，可得，再根据角平分线的定义得出∠4=∠5，进而得出∠4=∠6，所以是等腰三角形，在中，同理可证是等腰三角形，
【详解】（1）解： ∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵、的平分线交于O点，
∴，；
∵，
∴，；
∴，；
∴、是等腰三角形，
∵，、的平分线交于O点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中是等腰三角形的有：、、、、共五个；
与、的关系是．
理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：还有两个等腰三角形，为、，
如下图所示：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，在中，同理可证．
∴存在．
（3）解：有等腰三角形：、，此时，
∵如下图所示：，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
在中，同理可证是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，比较综合，难度一般，关键灵活运用等腰三角形的性质．
模型三：内外角平分线夹角
【例3】．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=( )
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】B
【分析】根据四边形的内角和及角平分线的定义解答即可.
【详解】∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°
∴∠ABC+∠BCD=130°
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=65°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°
故选B
【点睛】本题考查的是四边形的内角和及角平分线，掌握四边形的内角和是360°及角平分线的定义是关键.
【变式1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，再根据等角对等边即得BE＝EG，GF＝CF，进而可对①进行判断；根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，根据角平分线的性质即可对③进行判断；连接AG，如图2，则AEF的面积=AEG的面积+AFG的面积，再根据题意和③的结论即可对④进行判断．
【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，
∴BE＝EG，GF＝CF，
∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；
③过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，
∵GB和GC是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴GM=GH，GD=GH，
∴GM=GH=GD，
即点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，如图2，∵GD＝m，AE+AF＝n，
则由③知：GM=GD=m，
∴S△AEF＝AE•GM+AF•GD＝（AE+AF）•m＝nm，故本小题错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和角平分线的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的性质等基本知识是解题关键．
【变式2】．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．点P到EF的距离为 ．
【答案】
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义, 即可得到三角形PEF为直角三角形, 利用面积法即可求出P到EF的距离.
【详解】解：如图
PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,
∠1=∠BEF, ∠2=∠EFD ,
AB//CD,
∠BEF+∠EFD=,∠1+∠2=,即∠P=90,
ΔPEF为直角三角形,EF=13, PE=12, PF=5,
设P到EF的距离为d,根据面积法得:
PEPF =EFd，
d=，
故答案为:
【点睛】本题主要角平分线的性质、平行线的性质及三角形的面积公式.
模型四：两外角平分线的夹角
【例4】．（1）如图（a），平分，平分.
①当时，求的度数.
②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不正确，
【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可；
②首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出 的度数，即可得出结论；
（2）首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据补角的定义求出，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论．
【详解】（1）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2），
，
．
∵平分，平分，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
【变式1】．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
【答案】67°．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．
【详解】解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
故答案为：67°．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．
【变式2】．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3）同（1）的求解思路．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A．
理由如下：如图，
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，
即∠BOC=∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-（180°+∠A），
=90°-∠A；
故答案为∠BOC=90°-∠A．
（3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．
故答案为∠BOC=（∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．
模型五：一个内角一个外角角平分线的夹角
【例5】．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ．
【答案】15°/15度
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
【详解】解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°．
【变式1】．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是 （用含与的代数式表示）．
【答案】
【分析】由∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，于是有∠A＝2∠P1，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，因此找出规律．
【详解】∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，
而∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，
∴∠A＝2∠P1，
∴∠P1＝∠A，
同理可得∠P1＝2∠P2，
即∠A＝22∠P2，
∴∠A＝2n∠Pn，
∴∠Pn＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．
【变式2】．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则 度．
【答案】
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2016＝∠A．
【详解】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1＋∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD−∠ABC），
∵∠A＋∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD−∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推可知∠A2016＝∠A＝度．．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1＝∠A，并能找出规律．
模型六：角平分线与高线夹角
【例6】．如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数．
【答案】．
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键．
由高的定义可得，再结合运用三角形内角和定理可求得；再根据三角形内角和定理可得，依据角平分线的定义可得、，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴；
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，，
∴．
【变式1】．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则 度．
【答案】5
【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后利用求解即可．
【详解】，
．
平分，
．
，
．
，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义和直角三角形两锐角互余，掌握这些定义和性质是解题的关键．
【变式2】．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度．
【答案】10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可
【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°
【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度
【专题强化】
一、单选题
1．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
和分别平分和，
，
，
．
故选C．
2．如图，在中，，平分，于点E，若，，则的长为（ ）
A．10B．8C．7D．6
【答案】D
【分析】此题考查角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，解题的关键是将角转化为垂直，得到与角平分线有关的垂线段．
由得，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，而，平分，所以，可以求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为6，
故选：D．
3．如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ）
A．30B．15C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
∵为边上中线，
∴，
故选：C．
4．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11B．22C．26D．37
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可．
【详解】解：过点D作，于点H，
∵是的角平分线，，
∴．
在和中，
，
∴，
同理．
设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得
，
解得，
所以的面积是11．
故选：A．
5．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键．
【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．如图，在中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得，…，与的平分线相交于点，得，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求，再依此类推得，，……，，即可求解．
【详解】解：∵与的平分线交于点，
∴，，
由三角形的外角性质，，，
∴，
整理得：，
同理可得，
……
其规律为：．
当时，．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
二、填空题
7．如图，在中，点在的延长线上，，平分，平分，则的度数为 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质；由角平分线的定义得，，由三角形的外角性质得，，即可求解；掌握三角形外角的性质，能角平分线进行有关计算是解题的关键．
【详解】解：平分，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于 ．
【答案】8
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD=4，再由PC∥OB，可得∠ECP=∠AOB=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=8．
故答案为8
9．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解: 过作于，
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
10．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ．
【答案】14
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵平分，于点E，于点F，
∴，
∴；
故答案为：14．
11．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案；
（2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案．
【详解】解：（1），，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
12．如图，在中，的平分线，相交于点，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线求出相关角的度数，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和求出的度数．
先根据角平分线的定义，由和∠的度数求出和的度数；再依据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），可知等于与的和，进而求出的度数．
【详解】解：∵平分，
∴；
∵平分，
∴；
∵是的外角，
∴；
故答案为：．
13．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °．
【答案】30
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，，
∵是的外角，
∴，
故答案为：30．
14．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D．若∠A＝80°，则∠BOD＝ °．
【答案】40
【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义求得，再根据三角形内角和定理及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵OB平分，OC平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义，求得是解题的关键．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，，，平分交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若的周长为20，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
先证明，根据全等三角形的性质即可得到；
根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的周长等于，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
∴，
平分，
∴，
在和中，
，
，
；
（2）解：平分交于点，，，
∴，
∴，
，，
∴，
的周长为，
的周长为，
．
16．已知，如图，，M是的中点，平分，
(1)试说明：平分．
(2)试说明为直角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系．
（1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立；
（2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论．
【详解】（1）解：作于，如图所示：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的平分线．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴为直角．
17．在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，．
(1)求证；
(2)如果，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
18．问题呈现：
（1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由．
方法应用：
（2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________．
②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长．
【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6
【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得；
（2）①由角平分线的性质可得，求得，因此；
②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长．
【详解】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵平分，且，，
∴．
（2）①∵是的角平分线，， ，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
故答案为：3．
②∵为的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
解得．
19．【问题情境】
（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）．
【类比解答】
（2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，△ABC中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案；
（2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解；
（3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）延长交于点，如图，
同理可证明，
∴，
∵，
∴；
（3），证明如下：
延长、交于点，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴．
20．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______；
（2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系；
（3）如图3，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
（1）直接根据角平分线的性质可判断；
（2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到；
（3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数．
【详解】解：（1）如图1，
∵，，
∴，
∴，，
∵平分，
∴；
故答案为：；
（2），
如图2，过点D作于E，交延长线于F，
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
．
∴；
（3）如图3，过点D作于E，交延长线于F，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在△ABC中，点在上，．
(1)如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数；
(2)如图2，若是的角平分线，，求的度数．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了尺柜作图，角平分线的定义，三角形外角的性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；由角平分线的定义得，由直角三角形两锐角互余得，然后根据对顶角相等即可求解；
（2）先由三角形内角和求出，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）如图，射线即为所求
，平分，
，
，
，
，
（2）由（1）知，
，
，
又，
，
．
22．【模型解读】
角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法．
【模型证明】
常见模型1
条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．
结论：，．
常见模型2
条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E．
结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）．
常见模型3
条件：如图，是的角平分线，．
结论：．
根据模型3的条件，请证明上述结论．
【模型运用】
如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ．
【解决问题】
如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米．
【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证；
模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证；
解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解．
【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，
则，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
模型运用：如图，在上截取点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
解决问题：由题意可得：米，米，米，米，
∴米，米，
如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴米，
即此时甲、乙两人的距离为米．
故答案为：50．
23．如图，在中，分别是的平分线，分别是的外角平分线．
(1)当时，的度数为___________，的度数为___________；
(2)当的大小变化时，试探究的度数是否变化？如果不变化，求的度数；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)不变，
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质．
（1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出的度数；
（2）根据（1）中与的式子即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
在中，
；
、分别是与的外角平分线，
，，
，
；
故答案为：，；
（2）解：的值不变．
由（1）知，，
．
24．如图①，已知线段相交于点O，连接，我们把形如图①的图形称之为“对顶三角形”．如图②，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M，N．
(1)仔细观察，在图②中有 个以线段为边的“对顶三角形”；
(2)如图②，若，，求的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了“对顶三角形”的定义、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是根据“对顶三角形”的特征识别图形数量，利用三角形内角和与角平分线性质推导角度关系．
（1）根据“对顶三角形”（两条线段相交形成，含公共交点且两边分属两条相交线段）的定义，找出以为边的三角形，再对应确定其对顶三角形，统计总数；
（2）利用对顶三角形的内角关系（三角形内角和为，对顶角相等），结合角平分线定义得出等角关系，推导与、的数量关系，代入数值计算．
【详解】（1）解：根据“对顶三角形”的定义，以为边的“对顶三角形”有：
与、与,共4个，
故答案为：4；
（2）和的平分线和相交于点P，
．
，
，
．
，
．
25．如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.
【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F作FM∥AB，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE，
∴∠CDF+∠BAF＝（∠BAE+∠CDE）＝45°，
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH平分∠CED，
∴∠CEH＝∠CED，
∴∠BEG＝∠CED，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAG＝∠BAE，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，
即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
26．已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C．
(1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果；
(2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律．
（1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导．
（2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，平分，
∴，
．
∵，
∴
，
∴．