湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含答案）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含答案），共6页。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB+B1C1+DD1=( )
A. A1CB. AC1C. B1DD. BD1
2.已知向量a=(2,1,−3)，b=x,−1,−2，并且a⊥b，则实数x的值为( )
A. 52B. 72C. −52D. −72
3.在空间中，A(1,−1,2)，B(3,3,2)，C(2,6,2)，则∠ABC的大小为( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
4.已知点A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C为线段AB上一点且|AC||AB|=13，则点C的坐标为( )
A. 72,12,52B. 38,−3,2C. 103,−1,73D. 52,−72,32
5.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE⋅AF的值为( )
A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2
6.设x，y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,−2,2，且a⊥c，b/​/c ，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 5D. 4
7.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否被加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为一等品的概率为 ( )
A. 12B. 512C. 14D. 16
8.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，23，34，且它们正常工作与否是相互独立的．如图，将T2，T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是 ( )
A. 1124B. 2324C. 14D. 1732
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.在平行六面体ABCD−AˈBˈCˈDˈ中，与向量AB相等的向量有( )
A. CDB. A′B′C. D′C′D. BC
10.若a，b，c是平面内的任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不恒成立的是( )
A. |a+b|=|b−a|
B. (a+b)·c=a·(b+c)
C. λ(a+b)=λa+λb
D. b=λa
A. 若AD=13AB+23AC，则BC=3BD
B. 若G为△ABC的重心，则MG=13MA+13MB+13MC
C. 若MA⋅BC=0，MC⋅AB=0，则MB⋅AC=0
D. 若三棱锥M−ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则PQ=2
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，PA=a，PB=b，PC=c，用基底a,b,c表示向量PG= ．
13.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(7,5,λ)，若a，b，c共面，则λ= ．
14.某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为2，且它们彼此的夹角都是π3，则体对角线A1C的长度是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共60分。
15.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示AE；
(2)求AE的长．
16.(本小题12分)
已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，设a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求向量c；
(2)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值．
17.(本小题12分)
如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A，D两点间的距离．
18.(本小题12分)
南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长为35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位：分钟)进行调查，按平均每日参加体育锻炼的时间分组统计如下表：
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．
(1)将频率视为概率，估计该校7000名学生中“锻炼达人”有多少？
(2)从这100名学生中的“锻炼达人”中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知bsinB+C2=asinB．
(1)求A；
(2)若a=3，点D在边BC上，AD=2, DC=2DB，求▵ABC的面积．
答案和解析
1-8 B C D C C C B A
9-11 BC ABD BC
12.【答案】23a−13b+23c
13.【答案】657
14.【答案】2 2
15.【答案】解：(1)AE=AB+BC+CE=a+b+12c．
(2)由(1)得AE=a+b+12c，所以|AE|2=(a+b+12c)2=a2+b2+14c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c
=25+9+4+0+(20+12)×cs60°=54，故AE=3 6．

16.【答案】解： ∵空间中三点A(2,0,−2).B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
∴a=AB=1,−1,−2−2,0,−2=−1,−1,0，
b=AC=3,0,−4−2,0,−2=1,0,−2，
BC=3,0,−4−1,−1,−2=2,1,−2．
(1)∵c//BC，∴设c=mBC，m∈R，
∴c=mBC=m2,1,−2=2m,m,−2m，
∴c= (2m)2+m2+(−2m)2=3m=3，∴m=−1或m=1，
∴c=2,1,−2或c=−2,−1,2．
(2)∵ka+b=k(−1,−1,0)+(1,0,−2)
=(1−k,−k,−2)，b=1,0,−2，且向量ka+b与b互相垂直，
∴(ka+b)⋅b=1−k+4=0，解得k=5，
∴k的值是5．

17.【答案】解： 因为，AB⊥平面α，DF⊥平面α，所以AB // DF，又∠DCF=30°，所以AB与CD的夹角为120°．
因为AB=BC=CD=2，AD=AB+BC+CD，CD⊥BC，
所以AD2=AB+BC+CD2
=AB2+BC2+CD2+2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=12+2×(2×2×cs90°+2×2×cs120°+2×2×cs90°)=8，
所以AD=2 2，即A，D两点间的距离为2 2．

18.【答案】解：(1)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，
将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为7000×10100=700(人)
(2)①由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．
从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．
②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生依次编号为男1，男2，男3，男4，
则5人中随机抽取2人的所有结果有：
男1男2，男1男3，男1男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，
且每种结果发生的可能性相等．
记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，
则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，
故抽取的2人中男生和女生各1人的概率P(A)=410=25．
19.【答案】【详解】(1)由正弦定理得，sinBsinB+C2=sinAsinB，
因为sinB>0，所以sinB+C2=sinA，即csA2=sinA=2sinA2csA2，
又因为A2∈0, π2，所以sinA2=12，故A=π3；
(2)由DC=2DB知，AD=13AC+23AB，
则有AD2=19AC2+49AB2+49ABACcs∠BAC，
即4=19b2+49c2+29bc，化简得b2+4c2+2bc=36，
在▵ACD中，由余弦定理得cs∠ADC=8−b28，
在▵ABD中，由余弦定理得cs∠ADB=5−c24，
由cs∠ADB+cs∠ADC=0，则2c2+b2=18，
则22c2+b2=4c2+b2+2bc，化简得b=2c，
则(2c)2+4c2+2×2c×c=36，即c2=3，则c= 3(负值舍去)，
所以S▵ABC=12bcsin∠BAC=3 32．题号
一
二
三
四
总分
得分
分组
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
[150,180]
男生人数
2
16
19
18
5
3
女生人数
3
20
10
2
1
1