湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了𝐵，𝐶，等内容，欢迎下载使用。

注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.如图，在正方体????−?1?1?1?1中，?? + ?1?1 + ??1 = ()
A. ?1?B. ??1C. ?1?D. ??1
2.已知向量? = (2,1,−3)，? = (?,−1,−2)，并且? ⊥ ?，则实数?的值为()
题号
—
二
三
四
总分
得分
5
2
7
2
−5
2
−
7
2
在空间中，?(1,−1,2)，?(3,3,2)，?(2,6,2)，则∠???的大小为()
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
已知点?(4,1,3)，?(2,−5,1)，?为线段??上一点且|??|1()
A.
7 , 1 ,
2 2
5
2
B. 3 ,−3,2
|??| = 3，则点?的坐标为
C. 10 ,−1,
3
7
3
3
2
D. 5 ,− 7 ,
822
已知正四面体????的棱长为?，点?，?分别是??，??的中点，则?? ⋅ ??的值为
()
A. ?2B. 1?2C. 1?2D. 3?2
244
设?，? ∈ ?，向量? = (?,1,1)，? = (1,?,1)，? = (2,−2,2)，且? ⊥ ?，?//? ，则|? +
?| = ()
2
A. 2
5
7
B. 3C.
D. 4
2
.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工为一等品的概率分别为 和
3
3，两个零件是否被加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为一等品
4
的概率为 ()
A. 1
2
B. 5
12
C. 1
4
D. 1
6
三个元件? ，? ，? 正常工作的概率分别为1，2，3，且它们正常工作与否是相互独
123
234
立的．如图，将?2，?3两个元件并联后再与?1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是 ()
11
24
23
24
1
4
17
32
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
在平行六面体????−?ˈ?ˈ?ˈ?ˈ中，与向量??相等的向量有()
A. ??B. ?′?′C. ?′?′D. ??
若?，?，?是平面内的任意三个向量，? ∈ ?，下列关系中，不恒成立的是()
|? + ?| = |?−?|
(? + ?)·? = ?·(? + ?)
?(? + ?) = ?? +??
? = ??
若?? = 1?? + 2??，则?? = 3??
33
若?为△ ???的重心，则?? = 1?? + 1?? + 1??
333
若?? ⋅ ?? = 0，?? ⋅ ?? = 0，则?? ⋅ ?? = 0
若三棱锥?−???的棱长都为2，?，?分别为??，??中点，则|??| = 2
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
四棱锥?−????中，四边形????为平行四边形，??与??交于点?，点?为??上一点，?? = 2??，?? = ?，?? = ?，?? = ?，用基底?,?,?表示向量?? = ．
13.已知向量? = (2,−1,3)，? = (−1,4,−2)，? = (7,5,?)，若?，?，?共面，则
? = ．
14.某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点?为端点的三条棱长都为2，且它们彼

?
此的夹角都是3，则体对角线?1?的长度是．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分。
15.(本小题12分)
如图，在平行六面体????−?1?1?1?1中，?? = 5，?? = 3，??1 = 4，
∠??? = 90°，∠???1 = ∠???1 = 60°，?是??1的中点，设?? = ?，?? = ?，??1 =
?．
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(1)用?，?，?表示??； (2)求??的长．
16.(本小题12分)
已知空间中三点?(2,0,−2)，?(1,−1,−2)，?(3,0,−4)，设? = ??，? = ??．
(1)若|?| = 3，且?//??，求向量?；
(2)已知向量?? + ?与?互相垂直，求?的值．
17.(本小题12分)
如图，已知线段?? ⊥ 平面?，?? ⊂ ?，?? ⊥ ??，?? ⊥ 平面?，且∠??? = 30°，?与
?在?的同侧，若?? = ?? = ?? = 2，求?，?两点间的距离．
18.(本小题12分)
南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长为35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间 (单位：分钟)进行调查，按平均每日参加体育锻炼的时间分组统计如下表：
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．
(1)将频率视为概率，估计该校7000名学生中“锻炼达人”有多少？
(2)从这100名学生中的“锻炼达人”中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5
人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．
19.(本小题12分)
分组
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
[150,180]
男生人数
2
16
19
18
5
3
女生人数
3
20
10
2
1
1
?, ?的对边分别为?, ?, ?.已知?sin?+? = ?sin?．
在????中，内角?,
2
(1)求?；
(2)若? = 3，点?在边??上，?? = 2,
?? = 2??，求????的面积．
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答案和解析
1-8 ? ? ? ?? ? ? ?
9-11 ???????
12.
2 12
【答案】
3
?−
3
? +
3?
7
【答案】65
2
【答案】2
15.【答案】解：(1)?? = ?? + ?? + ?? = ? + ? + 1?．
2
(2)由(1)得?? = ? + ? +
? + ? ⋅ ?
1?，所以|??|2
2
= (? + ? + 1 ?)2
2
2
= ?
2
+ ?
+ 1?2 4

+2? ⋅ ? + ? ⋅
= 25 + 9 + 4 + 0 + (20 + 12) × ???60° = 54，故|??| = 3 6．
【答案】解： ∵ 空间中三点?(2,0,−2).?(1,−1,−2)，?(3,0,−4)，
∴ ? = ?? = (1,−1,−2)−(2,0,−2) = (−1,−1,0)，
? = ?? = (3,0,−4)−(2,0,−2) = (1,0,−2)，
?? = (3,0,−4)−(1,−1,−2) = (2,1,−2)．
∵ ?//??， ∴ 设? = ???，? ∈ ?，
∴ ? = ??? = ?(2,1,−2) = (2?,?,−2?)，
(2?)2 + ?2 + (−2?)2
∴ |?| =
= 3|?| = 3， ∴ ? = −1或? = 1，
∴ ? = (2,1,−2)或? = (−2,−1,2)．
∵ ?? + ? = ?(−1,−1,0) + (1,0,−2)
= (1−?,−?,−2)，? = (1,0,−2)，且向量?? + ?与?互相垂直，
∴ (?? + ?) ⋅ ? = 1−? + 4 = 0，解得? = 5，
∴ ?的值是5．
【答案】解： 因为，?? ⊥ 平面?，?? ⊥ 平面?，所以?? // ??，又∠??? = 30°，所以??与??的夹角为120°．
因为?? = ?? = ?? = 2，?? = ?? + ?? + ??，?? ⊥ ??，
所以|??|2 =
2
??
??
+ ?? +
= |??|2 + |??|2 + |??|2 +2?? ⋅ ?? +2?? ⋅ ?? +2?? ⋅ ??
= 12 + 2 × (2 × 2 × ???90° + 2 × 2 × ???120° + 2 × 2 × ???90°) = 8，
所以|??| = 2 2，即?，?两点间的距离为2 2．
【答案】解：(1)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，
将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为7000 × 10
100
= 700(人)
(2)①由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．
②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生依次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：
男1男2，男1男3，男1男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，
且每种结果发生的可能性相等．
记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件?，
则事件?包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，
故抽取的2人中男生和女生各1人的概率?(?) = 42
10 = 5．
19.【答案】【详解】(1)由正弦定理得，sin?sin?+? = sin?sin?，
2
因为sin? > 0，所以sin?+?
???
2 = sin?，即cs2 = sin? = 2sin2cs2，
?0,
?1π
π
2
又因为2 ∈，所以sin2 = 2，故? = 3；
(2)由?? = 2??知，?? = 1?? + 2??，
33
则有|??|2 = 1|??|2 + 4|??|2 + 4|??||??|cs∠???，
999
即4 = 1?2 + 4?2 + 2??，化简得?2 +4?2 +2?? = 36，
999
8
4
在????中，由余弦定理得cs∠??? = 8−?2，在????中，由余弦定理得cs∠??? = 5−?2，
由cs∠??? + cs∠??? = 0，则2?2 + ?2 = 18，则2(2?2 + ?2) = 4?2 + ?2 +2??，化简得? = 2?，
则(2?)2 +4?2 +2 × 2? × ? = 36，即?2 = 3，则? =3(负值舍去)，
所以?
13 3
．
= ??sin∠??? =
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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