上海市浦东新区进才中学2025-2026学年高一（上）第一次段考数学试卷（解析版）

这是一份上海市浦东新区进才中学2025-2026学年高一（上）第一次段考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）用描述法表示被3除余2的整数集为 ．
2．（3分）若全集，，则 ．
3．（3分）用列举法表示方程组的解集 ．
4．（3分）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ．
5．（3分）满足条件，，，，，的集合的个数是 ．
6．（3分）已知，，若是的充分条件，则满足条件的最小的整数为 ．
7．（3分）集合有且仅有两个子集，则实数 ．
8．（3分）已知关于的方程的两个实根为，，，则实数 ．
9．（3分）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
10．（3分）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人．则对、都赞成的学生和都不赞成的学生各 人．
11．（3分）若集合，2，3，4，5，6，7，8，，集合，且中有四个元素，则元素和能被3整除的集合的个数为 ．
12．（3分）已知关于的不等式，其中且、，若该不等式的解集恰好为，，则 ．
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知、、，那么下列命题中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．（4分）命题“对任意，都有”的否定为
A．对任意，都有B．不存在，都有
C．存在，使得D．存在，使得
15．（4分）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（4分）设、、是两个两两不相等的正整数．若，，，，，则的最小值是
A．2007B．1949C．1297D．1000
三、解答题（共48分，常在答题纸相应位置写出必要的计算或推理过程．）
17．（1）设，为实数，比较与的值的大小；
（2）设全集为，已知集合，，求．
18．已知集合，．
（1）设集合，，求；
（2）已知，设集合，若，求的取值范围．
19．在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂．
问题①：设，集合，若是，2，的充分条件，求：的取值集合．
问题②：设，，，若，求证：和至少有一个数是奇数
（1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，，2，，解得的取值集合为，，张老师判断小明解题错误，请计算正确的的取值集合；
（2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选一种你认为更好的方法并证明．
20．定义区间、，、，、，的长度均为，其中．
（1）求不等式的解集区间的长度；
（2）如果数集，都是集合，的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少？
（3）已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数的范围．
21．符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）解下列两个方程：，；
（2）分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由；
（3）求方程的实数解．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．（3分）用描述法表示被3除余2的整数集为 ， ．
解：由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为，．
故答案为：，．
2．（3分）若全集，，则 ．
解：，，
．
故答案为：．
3．（3分）用列举法表示方程组的解集 ．
解：解方程组，得，
用列举法表示方程组的解集为，
故答案为：．
4．（3分）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ．
解：由题意，不等式解得，，，即，
则即，解得，所以解集为．
故答案为：．
5．（3分）满足条件，，，，，的集合的个数是 7 ．
解：由题意，集合可以是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7个．
故答案为：7．
6．（3分）已知，，若是的充分条件，则满足条件的最小的整数为 3 ．
解：，，
是的充分条件，
，
，
满足条件的最小的整数为3，
故答案为：3．
7．（3分）集合有且仅有两个子集，则实数 1或 ．
解：因为集合有且仅有两个子集，
所以集合中有且仅有一个元素，
即方程有且仅有一个根，
当时，方程有一根，符合要求，
当时，△，
解得，
故满足要求的的值为1或．
故答案为：1或．
8．（3分）已知关于的方程的两个实根为，，，则实数 ．
解：方程存在实数根，则△，，，，
由题意结合韦达定理可得：，，
则：，
解得：，其中 时方程没有实数根，
故．
故答案为：．
9．（3分）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ，， ．
解：解不等式，因式分解得，则，，，
解不等式，因式分解得．二次函数开口向上，
与轴交点为和，的区间由与的大小决定．
由知，分情况讨论：
若，则的不等式为，无解，即，空集是任何集合的子集，满足．
若，则，．因，是正区间，要使，需．
若，则，．因，是负区间，要使，需．
综上，实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
10．（3分）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人．则对、都赞成的学生和都不赞成的学生各 21；8 人．
解：由题意：赞成的人数30，赞成的人数为33，
设对、都赞成的学生数为，则对、都不赞成的学生数，
如图可得
所以，
故答案为：21；8
11．（3分）若集合，2，3，4，5，6，7，8，，集合，且中有四个元素，则元素和能被3整除的集合的个数为 42 ．
解：把集合中按元素除以3的余数分成三个集合，4，，，5，，，6，，
则集合有如下可能：
由中的所有元素和一个元素组成，则有3个，
由中的所有元素和一个元素组成，则有3个，
由中的两个元素和中的两个元素组成，中的两个元素有三种可能：，，，，，，中的两个元素有三种可能：，，，，，，
所以有个，
由中的一个元素、中的一个元素和的两个元素组成，中的两个元素有三种可能：，，，，，，
所以有个，
所以集合的个数为．
故答案为：42．
12．（3分）已知关于的不等式，其中且、，若该不等式的解集恰好为，，则 4 ．
解：由二次函数，
因为，不等式的解集一定是两个区间，而不是一个区间，
所以，
而当时，因为二次函数关于对称，
所以不等式的解集，中的端点值满足，
此时有，，代入得，
解得或，
当时，与矛盾，故舍去；
当时，，此时满足题意，即．
故答案为：4．
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知、、，那么下列命题中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
解：对于，若，，则，故错误；
对于，若，，则，故错误；
对于，若，
此时，，故正确；
对于，若取，，则，故错误．
故选：．
14．（4分）命题“对任意，都有”的否定为
A．对任意，都有B．不存在，都有
C．存在，使得D．存在，使得
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意，都有”的否定为．存在，使得．
故选：．
15．（4分）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由已知，
当时，此一元二次不等式必有解，
此时方程有解可以推出不等式有解，而反之不成立，故方程有解是不等式有解的充分不必要条件；
当时，若方程有唯一解，则不等式无解，所以此时方程有解不是不等式有解的充分条件；
若不等式有解，即的图像既有在横轴上方的部分，也有在横轴下方的部分，
则方程一定有解，所以此时方程有解是不等式有解的必要不充分条件．
综上，方程有解是不等式有解的既非充分又非必要条件．
故选：．
16．（4分）设、、是两个两两不相等的正整数．若，，，，，则的最小值是
A．2007B．1949C．1297D．1000
解：不妨设，则．
因为为偶数，
所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数．
又因为，所以为不小于3的奇数．
若．则，，，，．
故，且．
所以，不符合要求．
若，则，，，，．
故，解得，
此时，．
故选：．
三、解答题（共48分，常在答题纸相应位置写出必要的计算或推理过程．）
17．（1）设，为实数，比较与的值的大小；
（2）设全集为，已知集合，，求．
解：（1），
则．
（2）由，两边同时乘以，得，解得，
故，则或；
由，得，解得，
故；
．
18．已知集合，．
（1）设集合，，求；
（2）已知，设集合，若，求的取值范围．
解：（1），
所以，又，，
所以，；
（2）因为，所以，
当时，，解得，
当时，，即，
所以的取值范围为，．
19．在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂．
问题①：设，集合，若是，2，的充分条件，求：的取值集合．
问题②：设，，，若，求证：和至少有一个数是奇数
（1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，，2，，解得的取值集合为，，张老师判断小明解题错误，请计算正确的的取值集合；
（2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选一种你认为更好的方法并证明．
【解答】（1）解：当时，集合，
此时，2，，即是，2，的充分条件．
当时，集合，，
由是，2，的充分条件，得，，2，．
所以或．
综上可知，实数的取值集合为，2，；
（2）利用反证法证明．证明如下：
假设，均为偶数，则为偶数．
因为为奇数，
与为偶数相矛盾，所以原假设不成立．
故，至少有一个数是奇数．
20．定义区间、，、，、，的长度均为，其中．
（1）求不等式的解集区间的长度；
（2）如果数集，都是集合，的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少？
（3）已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数的范围．
解：（1）由得，
所以的解集为，
故解集区间的长度为；
（2）由，可得到的长度为，的长度为，
因为，都是集合，的子集，
所以长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为1，最小值为；
（3）由即得，此不等式解集长度为6，
又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，
设的解集为，则，，
由得，
当时，，，显然成立；
当时，，
由，得或，
所以或；
当时，，
由，得即，
所以．
综上，实数的范围是．
21．符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）解下列两个方程：，；
（2）分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由；
（3）求方程的实数解．
解：（1）因为，所以，，
因为，所以，，
所以．
（2）对任意，有，
当时，不成立，因为，故；
当时，成立，因为，故；
（3）因为，又不是解，
所以，所以，
解得或，解得或或7或8，
分别代入方程得，解得，，，，，，，
经检验，这四个值都是原方程的解．
题号
13
14
15
16
答案
C
D
D
C