贵阳市第六中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份贵阳市第六中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A．B．C．D．
4．已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
5．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ）
A．78B．92C．100D．122
6．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题：
①对于任意的，任意的，都有是严格增数列；
②对于任意的，存在，使得是严格减数列．
以下说法正确的为（ ）
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
8．天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．
10．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称B．函数的最小值为2，无最大值
C．函数在上单调递增D．不等式的解集为
11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）.

A．曲线关于直线对称
B．若，则时到轴距离的最大值为
C．若，如图，则
D．若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
三、填空题（本大题共3小题）
12．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.
13．在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为 ．
14．在四面体中，且，点分别是线段，的中点，若直线平面，且截四面体形成的截面为平面区域，则的面积的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求；
（2）求的面积的最大值.
17．如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得A为的中点,连接,构成三棱锥.
(1)证明:;
(2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角.
18．小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为．
（1）求；
（2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和数学期望；
（3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒，认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率．
19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：
，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和；
(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．
参考答案
1．【答案】A
【分析】
解不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】
，所以．
故选：A．
2．【答案】A
【分析】利用投影向量公式进行求解.
【详解】在上的投影向量为.
故选A.
3．【答案】C
【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，
所以，
所以，
故选：C.
4．【答案】C
【详解】因为，则，所以函数关于点对称，
又函数在单调递增，所以函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，
不等式转化为，
所以，即，解得，
故不等式的解集为.
故选C.
5．【答案】C
【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.
【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，
当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.
综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.
故不同的分配方法数是.
故选：C
6．【答案】B
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故选：B
7．【答案】A
【详解】对于①，时，，，
时，；时，，也有，故①为真命题.
对于②，时，，，
当时，，，不严格递减；
当时，，，不严格递减；
当时，，
若，则，
同理当时，，
则存在，使得，
则，，不严格递减.
综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题.
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为组合体的外接球的体积为，设球的半径为，所以
所以外接球的半径，因为，所以球心O与正六边形 的中心重合，
记正六边形的中心为，因为
所以
所以.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，复数的共轭复数即，故A正确；
对于B，复数对应的点为位于第一象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因，则，，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】A.，即，所以函数是偶函数，的图象关于轴对称，故A正确；
B.当时，，，所以在单调递增，，且是偶函数，所以函数的最小值为2，无最大值，故B正确；
C.由AB可知，在单调递减，在上单调递增，故C错误；
D. 不等式，两边平方得，得，故D正确.
故选ABD
11．【答案】BCD
【详解】设点，则，
对于A选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错；
对于B选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对；
对于C选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，C对；
对于D选项，若曲线与轴正半轴交于，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对.
故选BCD.
12．【答案】8
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，
由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.
故答案为：8
13．【答案】24
【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为24．
故答案为：24.
14．【答案】
【分析】根据给定条件，将四面体置于长方体中，使分别为面对角线，再利用线面垂直和性质、面面平行的性质确定平面区域形状，结合三角恒等变换及三角形面积公式列式，借助基本不等式求出最大值.
【详解】依题意，四面体拓展为长方体，，如图，
设，则有，解得，
由点分别是线段的中点，得，而平面，则平面，
又直线平面，于是平面，
设平面与的交线分别为，
因为平面与平面分别交于，则，同理，
因此，同理，即四边形为平行四边形，且，
在中，，
，
则，设，则，
由，得，由，同理得，
因此，平行四边形围成一个平面区域，其面积为，
，
当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为.
【关键点拨】根据给定条件，把四面体置于长方体，借助长方体的结构特征是求解的关键.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【详解】（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得，，
由正弦定理，可得，
， ，
，.
（2），
由余弦定理，
所以，当且仅当时取等号，
的面积的最大值为.
17．【答案】(1)证明见解析;
(2)
【详解】（1）因为平面平面ABC，
所以,又平面,
所以平面,又平面,
所以.
（2）因为且,
所以,当且仅当取等，此时点的位置刚好在半圆弧的中点.
因为两两垂直,如图,以点为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，则令，则.
由(1)知平面，所以是平面的一个法向量，
故,
所以平面与平面所成角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为.
18．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）小勇状态见详解，最大概率为
【详解】（1）小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为．
所以，即，
则，所以，或（舍去）．则．
（2）定义事件：小勇与小勤比分为，：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2，
，
；
；
则小勇的得分的分布列为：
．
（3）当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束，
则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的．
①小勇与小勤打2分钟时，
先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为；
②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为；
③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为；
④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为；
小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有局1.5分钟结束，
则最后一局打分钟，其中．
若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率，
故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即．
时，小勇至少赢一颗球，因为，不为最大；
时，小勇最后1球可不赢，此时，；
时，；
综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：一局1.5分钟，另一局2分钟，
同时与小忠打两局：一局2分钟，一局0.5分钟．
19．【答案】(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以，
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以，
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，
，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即；
（2）
，
，
两式相减得
，
；
（3）由（2）可知
，
得恒成立，
令，
则，
可得；当时，，当时，，
所以的最大值为，
故.
0
1
2