贵阳市第六中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份贵阳市第六中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若空间向量不共线，且，则( )
A．6B．12C．18D．24
2．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．∪
C．D．
3．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在棱长为22的正四面体（四个面都是正三角形）A−BCD中，E,F分别为BC,CD的中点，且AF在DE上的投影向量为λDE，则λ 的值为（ ）
A． 16B． −16C． 66D． −66
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （ ）
A．3B．C．D．
7．如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．设，向量，，，且，，则（ ）．
A．B．C．D．
10．（多选题）直线，的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点满足，，其中，则（ ）
A．当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形
B．存在，使得平面平面
C．存在，使得平面平面
D．当时，点到平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知向量，，若，则 .
14．如图，已知平行六面体中， ，，.为的中点，则长度为 .

15．经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
16．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知直线．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19．已知的三个顶点.
（1）求过点A且垂直于的直线方程；
（2）求过点B且与点A，C距离相等的直线方程.
20．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到直线的距离；
(3)求点到平面的距离．
21．如图，在三棱柱中，平面.
(1)求到平面的距离：
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且．
(1)证明：平面；
(2)若，点A到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据空间向量的基本性质即可得到关于x、y的方程组，求出x、y即可计算结果．
【详解】∵空间向量不共线，
∴要使，
则．
故选：C．
2．【答案】D
【详解】直线l的斜率，
因为，所以，
设直线l的倾斜角为，则，
因为，所以或，
所以直线l的倾斜角的取值范围是
故选D.
3．【答案】A
【分析】根据题意用向量去表示，再由，即可得出结果.
【详解】
由图可得，
所以.
故选：A
4．【答案】B
【详解】如图,将正四面体A−BCD嵌套在正方体内,并以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,因为正四面体ABCD的棱长为22,所以正方体的棱长为2,
则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),D(2,0,2),E(1,2,1),F(1,1,2),
则AF=(1,1,2),DE=(−1,2,−1),
则AF在DE上的投影向量为AF⋅DE|DE|⋅DE|DE|=−16×6DE=−16DE,所以λ 的值为−16.故选B.
5．【答案】C
【分析】
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
6．【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【详解】，
又，所以
所以.
故选B.
7．【答案】A
【分析】
依题意得，，，，，进而可得结果.
【详解】
依题意得，，，.
所以
故.
故选：A.
8．【答案】A
【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系，
则，
因为点分别为的中点．则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
9．【答案】BD
【详解】对于选项A：因为，所以，解得：，故选项A错误；
对于选项B：因为，所以即,解得,故选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：由，故，故选项D正确.
故选：BD
10．【答案】BC
【分析】
分别把两条直线的一般式方程化为斜截式方程，先假设其中一条直线正确，看另一条直线的斜率和截距是否符合即可．
【详解】
解：直线的方程是，可化为，
的方程是，可化为，
在A中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符；
在B中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在C中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在D中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符.
故选：BC.
11．【答案】AB
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选AB
12．【答案】BD
【分析】根据找到位置，通过平行补全过三点的平面截正方体所得的截面，即可判断A；先找到垂直于平面的直线，判断是否存在使得平面能与该直线平行即可；找到与平面平行的平面，进而判断的位置即可判断C；补全平面，用等体积法即可求得点到平面的距离，进而判断D.
【详解】解：由，可知为中点，为靠近的三等分点，
连接并延长交平面与点，
由为中点，为中点可知，为中点，
连接并延长交于点，由可知，
，因为，所以，
所以为靠近的三等分点，取靠近的三等分点，
连接，再连接并延长交于点，同理可得，
连接如图所示：
则可知过三点的平面截正方体得到的截面多边形为，
在平面中，由，可知，
所以四边形不是正方形，故选项A错误；
连接，如图所示，
因为正方体，所以平面，所以，
因为正方形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即，同理可证，
因为，平面，平面，
所以平面，所以当时，为中点，
由平面，可得平面，
因为平面中，所以平面平面，
即选项B正确；
连接如图所示：
所以，因为平面，平面，
所以平面，因为，平面，平面，
所以平面，因为，平面，平面，
所以平面平面，因为为中点，所以在平面内，
若平面平面，则与重合，与重合，
即时成立，与题意不符，故选项C错误；
当时，为中点，取中点，连接如图所示：
由图可知，且，即四边形为平行四边形，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
因为正方体棱为2，所以，即，
同理，因为，所以，
在中，由余弦定理得：
，
因为，所以，
即，
且有，
记到平面的距离为，
可得，
即，解得，故选项D正确.
故选：BD
13．【答案】2
【详解】因为，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
14．【答案】
【分析】用表示出，计算得出AM的长度．
【详解】，，
，，，
，
，
，
，即.
故答案为：
15．【答案】
【分析】作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：因为，，，
所以，
因为直线与线段总有公共点，
所以，如图，根据图形可知，或，即或，
所以，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：
16．【答案】
【分析】取的中点为，连接，由数量积可得，求出的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】取的中点为，连接，则，
所以
，
正方体内切球的直径为，即，
设正方体内切球的球心为，面的中心为，连接，
由正方体的性质知：面，又面，
所以，所以，所以，
所以，，
所以的取值范围是：.
17．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由两直线平行的条件求解；
（2）由两直线垂直的条件求解．
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，符合题意，
当时，与重合，
故．
（2）因为，所以，
整理得，
解得或．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得，取AB中点O，连结，利用梯形和平行四边形的相关性质得到，则，再利用线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求出两异面直线所在的方向向量，然后利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，平面平面ABC，
平面平面，平面ABC，
所以平面，
又因为，平面.
所以，，所以是二面角的平面角，
因为二面角的大小为45°，
所以.
取AB中点O，连结，
在梯形中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
从而在三角形中，，，
所以，所以，即，所以.
又因为，平面，，所以平面.
（2）以О为坐标原点，OB为x轴，平面ABC内过О平行于BC的直线为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）∵，
∴与垂直的直线的斜率为.
∴过点A且垂直于的直线方程为，即.
（2）当过点B的直线的斜率不存在时，不满足要求.
当过点B的直线的斜率存在时，设斜率为k，则该直线方程为，
即.
则，
解得或.
∴所求直线的方程为或.
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算；
（2）在第一问的基础上，得到，从而利用空间点到直线距离公式求出直线到直线的距离；
（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.
【详解】（1）建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
设点到直线的距离为，
∴
则点到直线的距离为．
（2），故
，
设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；
∴
则直线到直线的距离为．
（3）设平面的法向量为，
由，
令，则，所以
设点到平面的距离为，
∴，
则点到平面的距离为．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标后可求点面距；
（2）求出平面的法向量和的坐标，用向量法得解.
【详解】（1）
因为平面，，
所以，，两两互相垂直，如图以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，设平面的一个法向量为，
则即，令，则，
又，
则到平面的距离.
（2）由题，，设，则，
解得，，，，，
设平面的一个法向量为，
则即，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）因为平面，平面，
所以平面平面，
因为，点D为中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，故，
因为，所以，所以，
因为，，平面，所以平面；
（2）因为点D为中点，且点A到平面的距离为，
所以点C到直线的距离为，
所以，即，解得，
所以，，
连接，则，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则有得取，得，
由（1）知是平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．