贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷

这是一份贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若抛物线的焦点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
2．记Sn是公差不为0的等差数列｛an｝的前n项和，若a2=S3，a1a3=S4，则数列｛an｝的公差为（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
3．已知圆与圆，则圆与圆位置关系（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
4．若，为椭圆的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）．
A．2B．C．D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．［江西南昌二中2025高二月考］已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为22的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|=8，则|AF|=（ ）
A．52B．2C．73D．3
7．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．到的距离的最大值为
10．数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列D．可能既不是等差数列也不是等比数列
11．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ）

A．与平面ABCD所成角为
B．平面ABD与平面的夹角的余弦值为
C．当点P是线段的中点时，平面
D．当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
13．已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为 ．
14．在数列中，，，，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1+a3+⋯+a2n+1.
16．如图，空间几何体，△、△、△均是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17．已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知和分别是椭圆上两点.
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）若过点B的直线l交C于另一点P，且的面积为6，求直线l的方程.
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
参考答案
1．【答案】D
【分析】由抛物线方程与焦点坐标的关系，求的值.
【详解】若抛物线的焦点坐标为，则，.
故选：D
2．【答案】B
【详解】设公差为d，
则有a1+d=3a1+3d，整理得a1=-d，
又由a1a3=S4，
可得a1（a1+2d）=4a1+6d，
所以-d（-d+2d）=-4d+6d，
解得d=-2或d=0（舍去）.
3．【答案】B
【分析】
求出两个圆的圆心距，再根据圆心距与两圆的半径之间的关系判断两圆的位置关系.
【详解】
圆C1：x2+y2=4的圆心坐标为C1（0，0），半径r1=2，圆C2：（x–3）2+（y+4）2=9的圆心坐标为圆C2（3，–4），半径r2=3．∵|C1C2|=5=r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系是为外切．
故选B．
4．【答案】B
【分析】
根据正三角形的性质可得，即，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，，是正三角形的三个顶点，所以，即，
所以，又，所以，即，所以，则
故选：B
5．【答案】A
【分析】
构造，则、、，利用导数研究其单调性，即可判断a，b，c的大小.
【详解】
，，，
令且定义域为，则，
所以在上，即递减，故，即.
故选：A
6．【答案】B
【解析】如图，过点A作准线的垂线，垂足为D，结合抛物线定义，设|AD|=|AF|=m，tan∠BAD=22，
由sin∠BAD=22cs∠BAD,sin2∠BAD+cs2∠BAD=1,
得cs∠BAD=13，则|AB|=3m，
因此|BF|=m+3m=8，所以|AF|=m=2.故选B.
7．【答案】C
【详解】圆的标准方程为：，
圆心，半径为5，要满足题意，
由圆的几何性质得圆心到直线的距离不超过，
则，解得，
即或，的取值范围为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】
试题【分析】，所以切线斜率，倾斜角的范围
考点：导数的几何意义
9．【答案】AC
【详解】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线交于点，需，故A正确；
B：由双曲线的定义知，
又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
有，所以，故B错误；
C：设，则（或），得，
又，所以，
则，
即的最小值为-3，故C正确.
D：，易知当时，，则到直线的距离为0；
当时，到直线即的距离为，
又且，所以，则，
即到直线的距离小于，故D错误.
故选AC
10．【答案】BD
【分析】
利用来对进行判断，从而确定正确答案.
【详解】
依题意，，
当时，，
当时，，，
两式相减得，
，
，
当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列.
当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列，
当，交替成立时，既不是等差数列也不是等比数列.
故选：BD
11．【答案】BCD
【分析】根据线面角的概念即可求解判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面的夹角及证明线面垂直，求解点到平面的最小距离，即可判断BCD.
【详解】对于A，因为平面，所以为与平面ABCD所成的角，
因为，所以与平面ABCD所成角为，错误；
对于B，设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，则，
设平面的法向量为，所以，
令，则，易知平面的一个法向量为，
设平面ABD与平面的夹角为，则，
所以平面ABD与平面的夹角的余弦值为，正确；
对于C，当点P是线段的中点时，，则，
因为，所以，
又，所以，
平面，平面，所以平面，正确；
对于D，设，则，
所以点P到平面的距离为，
故当时，，所以当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小，正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
13．【答案】
【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以，
设外接圆半径为，则，即，
由余弦定理得：，整理可得，
所以的面积，故的内切圆半径，
所以，因为，
所以，
当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为．
14．【答案】2
【分析】
根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.
【详解】
由，可得，
从而可得：，，，
故数列是周期为3的数列，
可得：
故答案为：
15．【答案】见详解
【详解】(1)∵S1=a1=1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn=2n−1.
又当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−2=2n−2；
当n=1时，a1=1，不适合上式.
∴an=1,n=1,2n−2,n≥2.
(2)∵ 数列a3，a5，⋯ ，a2n+1是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴a3+a5+⋯+a2n+1=21−4n1−4=24n−13.
∴a1+a3+⋯+a2n+1=1+24n−13=22n+1+13.
【易错警示】根据Sn求an时易忽略n=1这种情况的讨论，导致求解第(2)问时也出错.
16．【答案】（1）详见解析（2）
【分析】
（1）分别取，中点，，连接，，，，，通过面面平行的判定定理，证得面面，从而证得平面.（2）方法一（向量法）：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为，连接.由此作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）分别取，中点，，连接，，，，
由面面且交于，平面，有面
由面面且交于，平面，有面
所以,，所以，
由有，
，所以，
,所以面面，所以
（2）
法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取
点,点,点，
,，
设面的法向量，所以，取
设二面角的平面角为，据判断其为锐角.
法2：过点作垂线，垂足为，连接.
由（1）问可知又因为，所以平面，则有.
所以为二面角的平面角.
由题可知，所以,则
所以，
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设的公比为，由的各项均为正数，可得，
因为成等差数列，所以，
又因为，可得，化简得，
解得或（舍去），
故的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
设的前项和为，
则.
18．【答案】（1），；
（2）或.
【详解】（1）∵和是椭圆上两点，
∴解得
∴椭圆的方程为，
∴，∴，
∴椭圆C的离心率为；
（2）∵和，∴，
设到边上的高为，又的面积为6，
∴，解得，
又所在直线方程为，整理得，
设点的坐标为，∴，
解得或，
当时，又点在椭圆上，∴，解得或
当时，又点在椭圆上，∴，
代入得，即，
∵，∴方程无解，
∴点的坐标为或，
当点的坐标为时，可得，
∴直线l的方程为，即；
当点的坐标为时，可得，
∴直线l的方程为，即；
综上所述：直线l的方程为或.
19．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）当时，，，，，
故在处的切线方程为：，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且 ，
（ⅰ）若，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）若，令，则或，
①当，即，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，则在上恒成立，
可知在上单调递增；
④当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递减，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若时，在上单调递增，在上单调递减.