专题2.19相似三角形综合问题大题专题（培优强化30XI题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考 习题 【人教版】 含答案

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一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•城阳区期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若AD＝5，AB＝7，求的值．
2．（2022秋•江北区期中）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．
（1）试说明△AOB∼△DOC；
（2）若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，CE＝CD．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，AD＝14，求DE的长．
4．（2022秋•乐亭县期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．
①△BDP∽△CQD；
②若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，求a的值．
5．（2022秋•宝山区期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝CD，E为AC的中点，联结BE并延长，交线段AD于点F．
（1）求证：△AEF∽△BAF；
（2）若CD＝3，AB＝5，求DF的长．
6．（2022秋•铁西区期中）如图，已知△ABC．
（I）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P；
（3）作射线AP交BC于点D；
（4）分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；
（5）作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝．
（1）求CD的长；
（2）＝ ．
7．（2022秋•宝山区期中）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点（点E不与点B、C重合），点F在CD的延长线上，且BE＝DF，联结EF，分别交AD、AC于点M、N．
（1）已知MD＝1，求BE的长；
（2）求证：EF2＝2EM•FN；
（3）当△AMN是等腰三角形时，求S△AMN的值．
8．（2022秋•永春县校级期中）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC＝2，求CD的长．
9．（2022秋•宁波期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠DFA＝∠ECD；
（2）△ADF与△DEC相似吗？为什么？
（3）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
10．（2022秋•安溪县期中）如图，正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在AD边上，且＝2，AE与CF相交于点G．
（1）若AD＝6，EG＝3，连接DG，求证：△ADE∽△DGE；
（2）求∠AGF的度数．
11．（2022秋•惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD：AO＝5：3，BC＝3，求BD的长．
12．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF．
（1）求证：∠ACD＝∠ABE；
（2）求的值；
（3）若四边形BEDC的面积为18，周长为15，GF＝3．则AB＝ ．
13．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，BE、CD相交于点F，∠ABE＝∠ACD．
求证：（1）EC2＝EF•EB；
（2）DF：BF＝EC：BC．
14．（2022秋•锦江区校级期中）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．
（1）求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当BP＝4，CQ＝18，求PQ的长．
（3）在（2）的条件下，求EQ的长．
15．（2022秋•丰泽区校级期中）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图①，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝25°，则∠BAE＝ ；
②若AD＝6，DE＝9，AB＝4，则BC＝ ；
（2）知识运用：
如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：
①OA•OC＝OB•OD；
②△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．
16．（2022秋•长宁区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．设AD＝x．
（1）BG＝ ；CH＝ ；（用x的代数式表示BG、CH）
（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
17．（2022秋•下城区期中）如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A，连接CD、BE．
（1）证明：△ACD∽△ABE；
（2）若AB＝5，AC＝6，AD＝12，求AE．
18．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在半径为5的⊙O中，OA⊥OB，点D是OB延长线上一点，点C是⊙O上一点，AC交OB于M，且CD＝DM；
（1）连接OC，求证：OC⊥CD；
（2）若OM＝1，求CM的长．
19．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，AP⊥BE于点P．
（1）如图1，如果点F是AB的中点，求证：BP•BE＝2PF•BC；
（2）如图2，如果AE＝AF，联结CP，求证：CP⊥FP．
20．（2022秋•长泰县期中）如图（1）所示，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连结CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，△ADE的面积是6，求△DEC的面积S'的值；
（2）当AD＝3时，求S值（结果用含字母S'的代数式表示）；
（3）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连结CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示．
21．（2022秋•永春县校级期中）一块直角三角形木料板的一条直角边AB长3m，面积为6m2，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图（a）、（b），请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好．（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）
22．（2022秋•金牛区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB＝8，求CG的长．
23．（2022秋•朝阳区期中）如图①，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12cm，高AD＝12cm．在这张纸片中剪出一个正方形EFGH，使其一边FG在边BC上，点E、H分别在边AB，AC上，且EH与AD交于点K．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求正方形EFGH的边长；
（3）若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长．
24．（2022秋•西安期中）（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝120°，则＝ ．
（2）如图2，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且ED⊥DF，求的值．
25．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；
（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
26．（2022秋•南岸区校级期中）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，点A为公共顶点，∠BAC＝∠AED＝90°．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点C重合．
（1）求证：△BAN∽△CMA；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出BN•CM的值；
②若BM＝CN，请求出MN的长．
27．（2022秋•章丘区期中）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于16cm2？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
（3）①是否存在t，使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
②设四边形APQB的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值．
28．（2022秋•李沧区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点M从点A出发，沿折线AB→BC以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线AC的对称点N，连接MN交AC于点E，连接DM，DN．设运动时间为t（s）（0＜t＜7），请解答下列问题：
（1）当t为何值时，MD∥BC？
（2）点M在线段BC上运动时，是否存在某一时划t使得△CMD∽△CBA？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DMN为直角三角形？
29．（2022秋•浦东新区期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，且∠BAF＝∠ADB，求证：＝．
30．（2022秋•甘井子区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含a的式子表示）；
（2）用等式表示线段PQ与MB之间的数量关系，并证明；
（3）若BP：CP＝3：2，求QH：HM的值．