专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练（期末培优30题）-2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】 含答案

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本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•茌平区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC=AC2−AB2=4．
∵E是BC中点，
∴CE=12BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CECA，即DE3=25，
∴DE=2×35=65．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
2．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝∠BAC，CD＝1，BD＝3，求AC的长．
【答案】AC＝2．
【分析】由题意可得BC＝BD+CD＝4，根据∠ADC＝∠BAC，公共角∠C＝∠C，即可证明△ADC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结果．
【解答】解：∵CD＝1，BD＝3，
∴BC＝BD+CD＝4，
∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴CDAC=ACBC，
即AC2＝CD•BC＝4，
∴AC＝2（负值舍去）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．
3．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．
【答案】EC＝4．
【分析】根据AB⊥BC，EC⊥BC可得∠C＝∠B＝90°，由对顶角相等得∠CDE＝∠BDA，则△DCE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴△DCE∽△DBA，
∴DCBD=ECAB，
∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，
∴515=EC12，
∴EC＝4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键．
4．（2022秋•济南期末）如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，
求：AB的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得AC2＝AD•AB，再代入已知数据即可求出AB的长．
【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
∴ADAC=ACAB
∴AC2＝AD•AB
而AD＝4，AC＝6
∴AB＝9
故AB的长为9．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例由已知线段求未知线段是基本思路．
5．（2021秋•蓝田县期末）如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
6．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠C．
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴ADAC=AEAD，即AD1+3=1AD，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
7．（2021秋•连平县校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝2，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出DE的长．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，即1.52=DE2，
∴DE＝1.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
8．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC=2，求EF和FC的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；
（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC．
（2）解：∵△ADE∽△EFC，
∴EFAD=ECAE=FCDE，即EF4=12=FC6，
∴EF＝2，FC＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“相似于同一三角形的两三角形相似”；（2）利用相似三角形的性质，求出EF和FC的值．
9．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求DE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）DE的长为12．
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；
（2）根据（1）的结论利用相似三角形的性质即可求出DE＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，
∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
∴63DE=438，
∴DE＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2022秋•长安区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE=13BC，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AD∥BE，从而得出∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；
（2）由平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD＝8，即得出ADCE=3，再根据相似三角形的性质可得出ADCE=DFCF，即DFCF=3，最后结合CD＝DF+CF，即可求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，
∴CE=13AD，即ADCE=3．
∵△ADF∽△ECF，
∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．
∵CD＝DF+CF，
∴DF=34CD=6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
11．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．
【答案】（1）见解析过程；
（2）3225．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由外角的性质可得∠BAD＝∠CDE，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥BC于M，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH=AB2−BH2=25−9=4，
∵BD＝2，BC＝6，
∴DC＝4，S△ABD=12×BD•AH＝4，
∵△ABD∽△DCE，
∴S△ABDS△CDE=（ABCD）2=2516，
∴S△CDE=6425，
∴12×4×EM=6425，
∴EM=3225，
∴点E到BC的距离为3225．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．（2023春•太仓市期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解答．
（2）AB＝2．
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠B，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠DEC＝∠ADB，
又∵∠DEC+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵∠EAD＝∠DAC，
∴△AED∽△ADC．
（2）解：由（1）可知，△AED∽△ADC，
∴AEAD=ADAC，
∵AE＝1，CE＝3，
∴AC＝4，
将AE、AC的值代入上式，得：AD2＝AE×AC＝4，故AD＝2，
又∵AB＝AD，
∴AB＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
13．（2022秋•路北区期末）如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
【答案】（1）92；
（2）125．
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，得到AEDE=ABCD，把已知数据代入计算即可；
（2）根据△BEF∽△BCD，得到EFCD=BFBD，同理得到EFAB=DFBD，两个比例式相加再代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴AEDE=ABCD，
∵AB＝4，CD＝6，AE＝3，
∴3DE=46，
解得：DE=92；
（2）∵CD∥EF，
∴△BEF∽△BCD，
∴EFCD=BFBD，
同理：EFAB=DFBD，
∴EFCD+EFAB=BFBD+DFBD=1，
∴EF6+EF4=1，
解得：EF=125．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．（2022秋•增城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴82x=x10，
解得：x＝210，
∴AE＝210．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15．（2022秋•藁城区期末）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）23．
【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性质可得∠DPC＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；
（2）利用相似三角形的性质可得ABPC=BPCD，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD•AC，可得AP，从而可得答案．
【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，
∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，
∴∠DPC＝∠PAB，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，
∴ABPC=BPCD，
∴CD=BP⋅PCAB=2×13=23．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．
16．（2023春•钢城区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）12．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
（2）由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）解：∵△BDE∽△CAD，
∴BECD=BDAC，
∴39=4AC，
∴AC＝12，
∴AB＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
17．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时，求AE的长．
【答案】（1）见解答；（2）AE=12516．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（2）利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CDE＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，即2032=BD20，
解得：BD＝12.5，
∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，
∵DE∥AB，
∴BDBC=AEAC，即12.532=AEAC，
解得：AE=12516．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．
18．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．
（1）求证：△ABC∽△EFC．
（2）若BE＝2DE，AFCF=32，求FGGE的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）FGGE=95．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，则DE=13CD，易证明△AHF∽△ADC，则HFCD=AFAC=35，易证明△HFG∽△DEG，则FGGE=HFDE，将DE=13CD，HFCD=35代入即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵点D是BC的中点，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∵∠CEF＝2∠CAD，
∴∠CEF＝∠CAB，
在△ABC和△EFC中，
∠ACB=∠ECF∠CAB=CEF，
∴△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，
∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE＝2DE，
∴DEBD=DECD=13，即DE=13CD，
∵HF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴HFCD=AFAC，
∵AFCF=32，
∴AFAC=35，
∴HFCD=AFAC=35，
∵HF∥BC，
∴△HFG∽△DEG，
∴FGGE=HFDE，
由上述知，DE=13CD，HFCD=35，
∴FGGE=HFDE=HF13CD=3×35=95．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键．
19．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
（2）由相似三角形的性质可得 CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得 DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得 AECB=AGCG，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．
∴AFFG=EFAF，
∵∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，
∵∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴CACB=CDCG，
∵∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CGCB，
∵AE∥BC，
∴AEBC=AGGC，
∴AGAE=GCBC，
∴DGAB=AGAE，
∴DG•AE＝AB•AG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022秋•永丰县期末）如图所示，点B，C，D在同一条直线上，且BC＝CD，点A和点E在BD的同侧，且∠ACE＝∠B＝∠D．
（1）证明：△ABC∽△CDE；
（2）若BC＝2，AB＝3，求DE的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）43．
【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出∠A＝∠ECD，即可推出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB，∠ECD＝180°﹣∠ACE﹣∠ACB，∠ACE＝∠B，
∴∠A＝∠ECD，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△CDE；
（2）解：∵△ABC∽CDE，
∴ABCD=BCDE，
∵BC＝CD，BC＝2，
∴CD＝2，
∵AB＝3，
∴32=2DE，
∴DE=43．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；
（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）如图，连接FD，
∵射线BF经过点D，
∴点B，点F，点D三点共线，
∵AE∥DC，
∴△BEF∽△BCD，
∴BEBC=EFCD，ECBE=DFBF，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴EFAF=DFBF，
∴ECBE=EFAF，
∵CD＝AF，
∴BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，
∴BE2＝EC•BC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．
22．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，已知锐角△ABC中，边BC为12，高AD长为8．矩形EFGIH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K．
（1）求的EFAK的值；
（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
【答案】（1）32；（2）S有最大值，最大值为24．
【分析】（1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出EFBC=AKAD，由此即解决问题．
（2）用类似（1）的方法求出EF，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AKAD，
∴EFAK=BCAD=128=32；
（2）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AKAD，
∴EF12=8−x8，
∴EF=32（8﹣x），
∴S＝x•32（8﹣x）=−32x2+12x=−32（x﹣4）2+24．
∵−32＜0，
∴S有最大值，最大值为24．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
23．（2022秋•信都区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求P到什么位置时，PD∥AB．
【答案】（1）见解析；
（2）BP=185．
【分析】（1）先根据得出∠B＝∠APD，证明∠DPC＝∠BAP，得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形性质得出ABCP=BPCD，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APD＝∠C，证明△BAP∽△BCA，得出ABBC=BPAB，根据AB＝6，BC＝10，求出BP=185，即可得出当BP=185时，PD∥AB．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，∠APD＝∠C，
∴∠B＝∠APD，
∵∠APC＝∠APD+∠DPC，∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，
∴AB⋅CD＝CP⋅BP．
（2）解：如图，PD∥AB，
∴∠BAP＝∠APD＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ABBC=BPAB，
∵AB＝6，BC＝10，
∴610=BP6，
∴BP=185，
即当BP=185时，PD∥AB．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明△ABP∽△PCD．
24．（2022秋•叙州区期末）已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA•OE＝OA•CE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，通过证明△COD∽△EOA，可得OCOE=ODOA，通过证明△AOD∽△EOC，可得DACE=OAOE，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，
∴BABC=DADE=1，
∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴OCOE=ODOA
又∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴DACE=OAOE，
即DA•OE＝OA•CE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
25．（2023春•文山州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：△ABE是等边三角形；
（2）若ABBC=m(0＜m＜1)，连接OE，设S四边形OECDS△AOD=k，试求k与m满足的关系．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）m+k＝2．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，进而得∠DAB＝120°，再根据角平分线的定义得∠BAE＝60°，据此可得出结论；
（2）由（1）可知△ABE是等边三角形，则AB＝BE，由AB/BC＝m得AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，先证OM＝ON，然后设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，分别求出S△BOE=12•mab，S△OBC=12•ab，S△OCD＝S△OBC=12•ab，则S△BCD＝ab，S△AOD=12•ab，进而得S四边形OECD=12ab（2﹣m），最后再根据已知条件即可得出k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=12∠DAB=12×120°＝60°，
∴△ABE是等边三角形；
（2）解：由（1）可知：△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，
∵ABBC=m，
∴AB＝BE＝mBC，
过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，ON⊥BC，
在△AOM和△CNO中，
∠MAO=∠NCO∠AMO=∠CNO=90°OA=OC，
∴△AOM≌△CNO（AAS），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，
∴S△BOE=12BE•ON=12mab，S△OBC=12BC•ON=12ab，S△AOD=12AD•OM=12ab，
∵OB＝OD，
∴△OBC和△OCD等底同高，
∴S△OCD＝S△OBC=12ab，
∴S△BCD＝S△OCD+S△OBC＝ab，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△BOE＝ab−12mab=12ab（2﹣m），
∴S四边形OECDS△AOD=12ab(2−m)12ab=k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
即：k与m满足的关系是：m+k＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定方法，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解答此题的关键．
26．（2022秋•怀化期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴2x9=43x，
解得：x=6（负值舍去），
∴BD的长是6．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
27．（2022秋•兴化市期末）如图，已知∠BAC＝∠EAF，∠ABE＝∠ACF，若B，E，F三点共线，线段EF与AC交于点O．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）若AB＝3，CF＝4，△AOB的面积为9，求△COF的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）△COF的面积是16．
【分析】（1）由△ABC∽△AEF，可得∠BAC＝∠EAF，AB：AE＝AC：AF，可得∠BAE＝∠CAF，所以AB：AC＝AE：AF，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；
（2）由∠ABE＝∠ACF，易证△AOB∽△FOC，所以S△BOA：S△COF＝（ABCF）2=916，由此可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠ACF，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠AFB＝∠BCA，
∵∠ABC＝∠EAF，
∴△ABC∽△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，AB：AE＝AC：AF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
∴AB：AC＝AE：AF，
∴△ABE∽△ACF；
（2）解：∵∠ABE＝∠ACF，
∵∠AOB＝∠COF，
∴△AOB∽△FOC，
∴S△AOB：S△FOC＝（ABCF）2=916，
∵S△AOB＝9，
∴S△FOC＝16．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
28．（2023春•普陀区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；
（2）只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵BA•BD＝BC•BE．
∴BDBC=BEBA，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA．
（2）证明：∵BA•BD＝BC•BE．
∴BDBE=BCBA，
∵∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2＝AD•AB．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
29．（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴DEAE=BEDE，
∵DC＝7cm，BE＝9cm，
∴AB＝7cm，AE＝16cm，
∴DE＝12cm．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
30．（2022秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝12，M为AC上一点，AM＝4，D为AB边上一点（不与A，B重合），作∠MDN＝45°，使DN交△ABC的边于点N．
（1）如图1，点N在BC上时，
①求证：△AMD∽△DBN；
②若BDAD=15，求BN的长；
（2）若ADBD=13，请直接写出CN的长．
【答案】（1）①证明见解答；
②BN的长为10；
（2）CN的长为3或212．
【分析】（1）①由∠C＝90°，AC＝BC，得∠A＝∠B＝45°，再证明∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，即可由“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AMD∽△DBN；
②由∠C＝90°，AC＝BC＝12，根据勾股定理得AB=AC2+BC2=122，则AD=56AB＝102，BD＝22，即可根据相似三角形的对应边成比例求得BN＝10；
（2）当点N在线段CM上，作DF∥AC交BC于点F，由ADBD=13，求得AD=14AB＝32，BD＝92，设DN与射线BC交于点E，由△AMD∽△BDE，可求得BE=272，可知点E在BC的延长线上，此时，DE与AC交于点N，EC＝BE﹣BC=32，由CFBF=ADBD=13，求得BF=34BC＝9，则EF＝BE﹣BF=92，而FD＝BF＝9，即可由△ECN∽△EFD，求得CN＝3；当点N在线段AM上，作ML∥BC交AB于点L，可证明△LDM∽△AND，得LDAN=LMAD，求得AN=32，则CN＝12−32=212．
【解答】（1）①证明：如图1，∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠ADM＝135°﹣∠ADM，
∵∠MDN＝45°，
∴∠BDN＝180°﹣∠MDN﹣∠ADM＝135°﹣∠ADM，
∴∠AMD＝∠BDN，
∴△AMD∽△DBN．
②解：如图1，∵∠C＝90°，AC＝BC＝12，AM＝4，
∴AB=AC2+BC2=122+122=122，
∵BDAD=15，
∴AD=56AB=56×122=102，BD＝122−102=22，
∵△AMD∽△DBN，
∴AMBD=ADBN，
∴BN=AD⋅BDAM=102×224=10，
∴BN的长为10.
（2）解：如图2，点N在线段CM上，作DF∥AC交BC于点F，
∵ADBD=13，
∴AD=14AB=14×122=32，BD＝122−32=92，
设DN与射线BC交于点E，
∵∠A＝∠B，∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，
∴△AMD∽△BDE，
∴AMBD=ADBE，
∴BE=AD⋅BDAM=32×924=272，
∴点E在BC的延长线上，
此时，DE与AC交于点N，EC＝BE﹣BC=272−12=32，
∵CFBF=ADBD=13，
∴BF=34BC=34×12＝9，
∴EF＝BE﹣BF=272−9=92，
∵∠BDF＝∠A＝∠B，
∴FD＝BF＝9，
∵CN∥DF，
∴△ECN∽△EFD，
∴CNFD=ECEF，
∴CN=EC⋅FDEF=32×992=3；
如图3，点N在线段AM上，作ML∥BC交AB于点L，
∵ALAB=AMAC=412=13，
∴AL=13AB=13×122=42，
∴LD＝AL﹣AD＝42−32=2，
∵∠DLM＝∠B＝∠A＝45°，∠MDN＝45°，
∴∠LDM＝∠AND＝135°﹣∠ADN，LM＝AM＝4，
∴△LDM∽△AND，
∴LDAN=LMAD，
∴AN=LD⋅ADLM=2×324=32，
∴CN＝12−32=212，
综上所述，CN的长是3或212．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，证明∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，进而证明△AMD∽△BDN是解题的关键．