天津市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份天津市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
3
下列关系：①1 ∈ ?；②| ― 3| ∉ ?；③ ―
2
∈ Q；④0 ∉ ?；⑤⌀ ⊆ {0}，正确的个数为()
A. 5B. 4C. 3D. 2
已知2 ∈ {2?,?2 + ?}，则?的值为()
A. 1或― 2B. 1C. ― 2D. 1或― 1
3.已知全集? = R，集合? = {?∣? < ― 1或? > 4},? = {?∣ ― 2 ≤ ? ≤ 3}，那么阴影部分表示的集合为()
A. {?∣ ― 1 ≤ ? < 3}B. {?∣ ― 1 ≤ ? ≤ 3}
C. {?∣? ≤ 3或? ≥ 4}D. {?∣ ― 2 ≤ ? ≤ 4}
下列命题中，不正确的是()
若? > ?，? > ?，则? ― ? > ? ― ?B. 若?2? > ?2?，则? > ?
C.1
1
若? > ?，则>
D.11 < 0，则?? < ?2
?―??
若? < ?
设?，?是实数，则“? > |?|”是“?2 > ?2”的()
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6
1―?
“
?.“|? ― 1| < 2成立”是≥ 0成立”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
命题“∀? ∈ [1,2]，?2 ― ? ≤ 0”为真命题的一个充分不必要条件是()
A. ? ≤ 4B. ? ≥ 4C. ? ≤ 5D. ? ≥ 5
下列说法正确的是()
2
不等式(2? ― 1)(1 ― ?) < 0的解集为 ?| 1 < ? < 1
若? ∈ ?，则函数? =
1
?2 + 4
+的最小值为2
?2+4
不等式|2? ― 1| < 3的解集是{?| ― 1 < ? < 2}
当? ∈ ?时，不等式??2 ― ?? +1 > 0恒成立，则?的取值范围是(0,4)
9
1
1―?
.当? > 1时，则 ― ?的最大值为( )
A. ― 3B. ― 1C. 1D. 3
10.1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集?与?，且满足? ∪ ? = Q，? ∩ ? = ⌀，?中的每一个元素都小于?中的每一个元素，则称(?,?)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
2
? = { ? ∈ Q|? ― 1的解集为．
1
.若0 < ? < 2，则?(1 ― 2?)的最大值是
14.已知? > 0，? > 0，且(? +1)(? +1) = 25，则? + ?的最小值为．
15.若正数?,?满足4? + ? = ??，则使? + ? ― ? ≥ 0恒成立的实数?的最大值是．
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知集合? = ?|?2 ― 5? + 6 = 0，? = { ?|?? + 1 = 0}，且? ∪ ? = ?．
(1)写出集合?的所有子集； (2)求实数?的值组成的集合． 17.(本小题10分)
已知集合? = {?∣2 ― ? ≤ ? ≤ 2 + ?},? = {?∣?2 ― 5? + 4 ≥ 0}．
(1)当? = 3时，求? ∩ ?,? ∪ ?R?；
(2)若? ∩ ? = ⌀求实数?的取值范围．
18.(本小题10分)
已知函数?(?) = ??2 ― ?? ― 1．
1
(1)若? = ― 2，求不等式?(?) < 0的解集
(2)若关于?的不等式?(?) < 0对一切? ∈ ?恒成立，求实数?的取值范围．
19.(本小题10分)
已知二次函数?(?) = ??2 ― 4? +3．
(1)若?(?) < 0的解集为{?|1 < ? < ? }，分别求?，?的值； (2)解关于?的不等式?(?) > 2?? ― 2? ― 1．
参考答案
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
∃? ∈ ?,?2 ― 2? ≥ 0
12.1
{?|? < ― 2或? > 3}
8
13.1
14.8
15.9
16.(1)由?2 ― 5? +6 = 0解得? = 2或? = 3，所以? = {2,3}，
所以集合?的所有子集为⌀，{2}，{3}，{2,3}．
(2)由? ∪ ? = ?得? ⊆ ? = {2,3}，
①当? = 0时，? = ⌀，满足条件．
1
?
②当? ≠ 0时，? = ―，因为? ⊆ ? = {2,3}，
所以― 1 = 2或― 111
?? = 3，解得? = ― 2或? = ― 3．
1
3
综上，实数?的值组成集合为 0, ― 1 , ―．
2
17.(1)由?2 ― 5? +4 ≥ 0，即(? ― 4)(? ― 1) ≥ 0，解得? ≥ 4或? ≤ 1，所以? = ?|?2 ― 5? + 4 ≥ 0 = { ?|? ≥ 4或? ≤ 1}，
所以??? = {?|1 < ? < 4}，
当? = 3时，? = {?| ― 1 ≤ ? ≤ 5}，
∴ ? ∩ ? = {?| ― 1 ≤ ? ≤ 1或4 ≤ ? ≤ 5}，? ∪ ??? = {?| ― 1 ≤ ? ≤ 5}．
(2)因为? ∩ ? = ⌀，当? = ⌀时，即2 ― ? > 2 + ?，解得? < 0，符合题意；
当? ≠ ⌀时，可得
2 ― ? > 1
2 + ? < 4，解得0 ≤ ? < 1，
2 ― ? ≤ 2 + ?
综上可得?的取值范围是? < 1
18.(1)? = ― 1,?(?) = ― 1?2 + 1? ― 1 < 0，
222
∴ ?2 ― ? +2 > 0，
? = 1 ― 8 < 0，
∴ 不等式的解集为?
(2)当? = 0时，?(?) = ― 1 < 0恒成立，满足题意；
? < 0
当? ≠ 0时，由题意得 Δ = ?2 + 4? < 0,
解得― 4 < ? < 0
综上所述，实数?的取值范围是{?| ― 4 < ? ≤ 0}．
19.(1)由?(?) < 0的解集为{?∣1 < ? < ?}，则1，?是方程?(?) = 0的根，且? > 0，由? ― 4 + 3 = 0，解得? = 1；由1 + ? = 4 = 4，解得? = 3，
?
所以? = 1,? = 3．
(2)由二次函数?(?) = ??2 ― 4? +3，知? ≠ 0，
不等式?(?) > 2?? ― 2? ― 1整理得??2 ― (2? +2)? +4 > 0，即(?? ― 2)(? ― 2) > 0，
当? > 0时，不等式等价于(? ― 2)(? ― 2) > 0，
?
当2 > 2，即0 < ? < 1时，解得? < 2或? > 2；
??
当2 = 2，即? = 1时，解得? < 2或? > 2；
?
当2 < 2，即? > 1时，解集为? < 2或? > 2；
??
当? < 0时，不等式等价于(? ―
2)(? ― 2) < 0，解得2
< ? < 2，
??
所以当0 < ? < 1时，原不等式的解集为( ― ∞,2) ∪ (2, + ∞)；
?
当? = 1时，原不等式的解集为( ― ∞,2) ∪ (2, + ∞)；
当? > 1时，原不等式的解集为( ― ∞,2) ∪ (2, + ∞)；
?
当? < 0时，原不等式的解集为(2,2)．
?