初中数学浙教版（2024）九年级上册两个三角形相似的判定随堂练习题

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册两个三角形相似的判定随堂练习题，共11页。

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\l "_Tc23644" 【题型1 利用平行判定相似】 PAGEREF _Tc23644 \h 2
\l "_Tc2667" 【题型2 利用两角相等判定相似】 PAGEREF _Tc2667 \h 3
\l "_Tc20443" 【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 PAGEREF _Tc20443 \h 4
\l "_Tc168" 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 PAGEREF _Tc168 \h 5
\l "_Tc23317" 【题型5 选择或补充条件使两三角形相似】 PAGEREF _Tc23317 \h 6
\l "_Tc29888" 【题型6 裁剪使两三角形相似】 PAGEREF _Tc29888 \h 7
\l "_Tc7835" 【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc7835 \h 8
\l "_Tc10081" 【题型8 数相似三角形的对数】 PAGEREF _Tc10081 \h 10
\l "_Tc31037" 【题型9 存在相似三角形】 PAGEREF _Tc31037 \h 11
知识点1 相似三角形
1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A1B1C1相似，记作△ABC∽△A1B1C1．
2. 全等三角形与相似三角形的比较
知识点2 三角形相似的判定
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．
1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′和，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽△A′B′C′．
2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′，若ABA′B′=ACA′C′，∠A=∠A′，则△ABC∽△A′B′C′．
3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′，若ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′，则△ABC∽△A′B′C′．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4. 有关三角形相似的常见图形
【题型1 利用平行判定相似】
【例1】如图，AB //CD //EF，则图中相似三角形的对数为( )
A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对
【变式1-1】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.求证：△OAC∽△OBD．
【变式1-2】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN于点O.图中与△ABC相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由．
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有 对.
【题型2 利用两角相等判定相似】
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是（ ）
A．△BFAB．△BAEC．△BECD．△AEF
【变式2-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ）
A．△BCD∽△ACDB．△BCD∽△ABC
C．△ACD∽△ABCD．以上都不对
【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，∠ACD=90°，求证：△ABC∽△CDB．
【变式2-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC=135°．求证：△CPA∽△APB．
【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC∽△AGD．
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，DF=2．求证：△ABE∽△DEF．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．求证：△ACP∽△PDB．
【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．
(1)若AC=8，求AG的长；
(2)如果AB=AC，求证：△AFG∽△ACF．
【题型4 利用三边对应成比例判定相似】
【例4】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE=1，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想．
【变式4-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（ ）
A．AB=4，BC=8，AC=10； DE=20，EF=16，DF=8
B．AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=9
C．AB=12，BC=15，AC=24； DE=16，EF=30，DF=20
D．AB=3k，BC=4k，AC=5k； DE=6k，EF=7k，DF=8kk>0
【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式4-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
【题型5 选择或补充条件使两三角形相似】
【例5】如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BCAC=DBAB中的一个，能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC∽△ACD，只要AD= ．
【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△DBC相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．
【变式5-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB C．∠1=∠4 D．∠2=∠3
【题型6 裁剪使两三角形相似】
【例6】如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（ ）

A．①②B．②④C．③④D．①③
【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（ ）
A．都相似B．只有图①相似C．只有图②相似D．都不相似
【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型7 尺规作图使两个三角形相似】
【例7】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D，使得△ABD∽ △ACB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD∽△PCB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【题型8 数相似三角形的对数】
【例8】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中相似三角形有（ ）
A．5对B．6对C．10对D．20对
【变式8-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1B． 2C．3D．)4
【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（ ）对．
A．3对B．4对C．6对D．7对
【变式8-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点G，连接DF，则图中相似三角形有（ ）
A．4对B．6对C．8对D．5对
【题型9 存在相似三角形】
【例9】如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似，则这样的P点有 个．
【变式9-1】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（ ）
A．6条B．3条C．4条D．5条
【变式9-2】如图，在矩形ABCD中，AB=7.5,BC=8，点E是AB上一点，BE=2，点P是边BC上的一个动点，若使得以P、C、D为顶点的三角形与△EBP相似，则这样的点P有 个．
【变式9-3】如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 个．
全等三角形
相似三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
特征
形状相同且大小相等
形状相同但大小不一定相等
图形表示
对应边
相等
成比例
对应角
相等
相等
相似比
1
可以是1，也可以是其他正实数
图形特征
所需条件
证明方法
平行线型
已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等
两角分别相等的两个三角形相似．△ADE∽△ABC
斜交型
有公共角或对顶角，∠B=∠AED
两角分别相等的两个三角形似．△ADE∽△ACB
公共角的两边对应成比例，ABAD=ACAE
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△ACB∽△AED
母子型
∠1=∠2
两角分别相等的两个三角形相似．△ACD∽△ABC
旋转型
有一组角对应相等，
公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠2，ABA′B′=ACA′C′
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△ABC∽△A′B′C′