2025-2026学年内蒙古包头市青山区第三十六中学九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古包头市青山区第三十六中学九年级上学期第一次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
2．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是由沿方向平移得到的，E是的中点，与相交于点G．若的面积为16，则的面积为（ ）

A．4B．6C．8D．10
5．如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则x满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在菱形中，于点，则的长为（ ）
A．3B．C．2D．
7．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：
①△COE≌△DOF；
②△OGE∽△FGC；
③DF2＋BE2＝OG•OC；
④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④
二、填空题
9．若四条线段，，，成比例，其中，，，则 ．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分线CD交AB于点D．若AC＝2，则CB＝ ．
11．已知α，β是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
12．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次调查的学生共有多少名？
(2)在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
15．如图，在中，，D为边的中点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
16．如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求：
(1)的长度；
(2)三角形与三角形的面积之比．
17．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？
18．如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题：
(1)当t为何值时，与相似；
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
《内蒙古包头市青山区第三十六中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题》参考答案
1．D
【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，
解得：m=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
2．B
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：，
，，，
，故D选项正确；
，
，，，故A、C选项正确，
，故B选项结论错误，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种，
∴小灯泡发光的概率是：，
故选：C
4．A
【分析】先根据平移的性质和相似三角形的判定得出，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可算出的面积.
【详解】∵是由沿方向平移得到的，
.
，
.
∵E是的中点，
.
，
.
故选：A
【点睛】本题主要考查了平移的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质是解题的关键.
5．C
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．熟练掌握矩形面积公式，平移的性质，是解决本题的关键．
根据平移的性质可得除去桥的面积后，湖的面积正好是一个长为，宽为的矩形的面积，据此列出方程即可．
【详解】解：如图，将曲桥平移至同一水平上，
可得．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及菱形面积公式的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长，再结合面积公式求出高的长度．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度；利用勾股定理计算菱形的边长；结合菱形面积等于对角线乘积的一半和底乘高两种计算方式，列出等式求出的长度．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴菱形的对角线互相垂直且平分
．
∵菱形的对角线互相垂直
∴由勾股定理得，菱形的边长为：
菱形的面积S可以表示为对角线乘积的一半：
又∵菱形的面积也可以表示为底乘高即
解得．
故选：D．
7．C
【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【详解】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形，
若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以，
得到点的坐标是：，，即，
若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以，
得到点的坐标是：，，即，
综上所述：点的对应点的坐标是或．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键．
8．C
【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
【详解】解：①在正方形ABCD中，OC=OD，∠COD=90°，∠ODC=∠OCB=45°，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE=∠EOF-∠COF=90°-∠COF，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②由①全等可得OE=OF，
∴∠OEF=∠OCF=45°，∠OGE=∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，
故④正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，
∴DF2+BE2=EF2，
∵∠OCE=∠OEG=45°，∠EOG=∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴OG•OC=EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG•OC，
故③不正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
9．2
【分析】利用比例线段的定义得到a：b=c:d，即a：3=4：6，然后根据比例的性质可求出a的值．
【详解】解：根据题意得a：b=c：d，即a：3=4：6，
所以a==2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，即 a：b=c：d，我们就说这四条线段是成比例线段．
10．/
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=36°，根据三角形外角性质可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，设BC=x，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，
∵∠ACB的角平分线CD交AB于点D．
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴AD=CD，CD=BC，
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
设BC=x，
∴CD=BC=x，
∴，即，
解得：x=，（负值舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
11．2027
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及代数式求值，掌握根与系数的关系、代数式的正确变形及运用整体思想求值是解题的关键．
由α，β是方程的两个实数根，可求出与的值，再将化简成关于与的式子，即可求出原式的值．
【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
∵
∴．
故答案为：2027．
12．13.5
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可．
【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
答：旗杆的高为．
13．(1)，
(2)，
【分析】（1）用公式法求解比较简便；
（2）利用因式分解法求解比较简便
【详解】（1）解：，
这里，，，
∴，
∴，
∴，．
（2），
，
，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键．
14．(1)280名
(2)108°
(3)
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比即得到调查的学生总数；
（2）求出“互助”的学生数，从而可求出“进取”的学生数，再根据“进取”所对应的圆心角的度数=其所占百分比×360°求解即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到C与E的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）56÷20%=280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）∵“互助”的人数为280×15%=42（名），
∴“进取”的人数为280-42-56-70-28=84（名）．
84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”，
画树状图为：
共20种情况，恰好选到C和E有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，列表或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．（3）中正确的列出表格或画出树状图是解答关键．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
（1）先证出四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，再根据菱形的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，为边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在中，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵为边的中点，
∴，
则四边形的周长为．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质：
（1）由平行四边形对边平行且相等，可得，，，，由平行线的性质得，，证明，根据对应边长成比例即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
即三角形与三角形的面积之比为．
17．(1)
(2)45元
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据题意列出方程计算求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
18．(1)或
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
（1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可；
（2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴，
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：；
综上所述，当t或时，与相似；
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分，
在中，，
∴，
如图，过P作于点D，则，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵线段恰好把的面积平分，，
∴，即，
此时，
此方程无解，
∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
C
A
C
D
C
C