2025-2026学年内蒙古包头市昆都仑区第三中学九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古包头市昆都仑区第三中学九年级上学期第一次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
3．给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
4．如图，在中，于D，如果和的面积比为，那么的长是（ ）
A．8B．12C．16D．4
5．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图在坐标系中，四边形为菱形，顶点A、B在x轴上，，点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
9．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．已知，则的值为 ．
11．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 ．

12．若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的面积是 ．
13．如图1所示的是一个面积为100cm2的正方形微信二维码，小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机挪点，经过大量重复试验，他将若干次有效试验的结果（点落在正方形区域外不计试验结果）绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计黑色部分的面积大约为 cm2．
14．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），用60米长的篱笆围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示），当矩形的长为 米时，矩形花园的面积为300平方米．
15．如图，已知是的中线，，则 ．
16．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接．给出以下结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为8．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．每年的6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级： A（优秀）； B（良好）；C（中）； D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生共有______名；补全条形统计图；
(2)求本次竞赛获得B等级对应的扇形圆心角度数是_____________度；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛中达到良好和优秀的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年三班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，请利用树状图或表格求出从这4人中随机所选2人恰好是一男一女的概率．
19．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元日销售量为件．
(1)直接写出日销售量为（件）与每件售价（元）之间的函数关系式_________；
(2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？
20．如图，矩形的对角线相交于点O，，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的面积．
21．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，且，连接，交于点G，H为的中点，连接，过点G作交于点P，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求PH的长．
《内蒙古包头市昆都仑区第三中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题》参考答案
1．A
【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方.
【详解】把方程移项，得
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得：.
故选：.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
2．D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，根据相似三角形的性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵和的面积比为，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键．
【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，
∴她们恰好选中一个主题的概率为，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，坐标与图形等知识点，
根据菱形的性质可得，由勾股定理可得，进而求解即可．
【详解】解：∵点，点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴
∴，
∴点D的坐标为．
故选C．
7．D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键．
8．B
【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．
9．C
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
10．//
【分析】本题考查了比例的性质，设，用含的式子表示，代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∴，
∴，
故答案为： ．
11．2.7
【分析】根据，可得，进而得出即可．
【详解】解：如图，过作于，则，
∴，即，
解得，
故答案为：2.7

【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
12．6
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求三角形的面积，
先求出一元二次方程的两个根，再根据三角形的面积公式得出答案．
【详解】解：，
解得，
∴这个直角三角形的两条直角边为3，4，
∴这个直角三角形的面积是．
故答案为：6．
13．55
【分析】根据频率估算点落在白色部分的概率，然后求出点落在黑色部分的概率，再乘以正方形面积即可．
【详解】解：根据折线统计图可知点落在白色部分的频率稳定在0.45左右，
故点落在白色部分的概率是0.45．
所以黑色部分的面积大约为100×（1-0.45）=55cm2．
故答案为：55．
【点睛】本题考查用频率估计概率的应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用和矩形的面积公式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程．设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意即可得到的长．
【详解】解：设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，即，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，作交于H，可得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：作交于H，如图，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，，
∴
又，
∴
∴，
故答案为：．
16．①②③
【分析】如图所示，连接，交于点O，根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，，求得，，根据全等三角形的性质得到，即①正确；根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，即②正确，当时，得到，求得，得到，由①可知，四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点B，E，D三点共线时，最小，即最小，求得的最小值为，④不正确．
【详解】解：如图所示，连接，交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即②正确，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，由①可知，四边形是矩形，
∴四边形是正方形．故③正确；
由①可知，，当点B，E，D三点共线时，最小，即最小，
此时，
∴的最小值为，④不正确
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解本题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：移项，得．
配方，得，
，
两边开平方，得，
即，或．
（2）解：原方程可变形为，
，或．
18．(1)60；见解析；
(2)
(3)840名；
(4)
【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据样本百分比估算总体数量，圆心角的计算方法，列表法或画树状图法求随机事件的概率的方法是解题的关键．
（1）根据样本百分比估算总体数量，可求出样本容量，由此可求出C组的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据扇形圆心角的计算方法即可求解；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可求解；
（4）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：（名），
∴C组的人数为：（名），
补全条形图如下，
故答案为：60；
（2）B等级对应的扇形圆心角度数为：；
（3）（名），
∴达到良好和优秀的学生大约有840名；
（4）两名男生分别表示为男1，男2，女1，女2，画树状图如下，
共有12种等可能结果，其中恰好是一男一女的结果有8种，
∴恰好是一男一女的概率为．
19．(1)
(2)该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量=降价前每日销售量+降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润×日销售量元，据此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴舍去，
∴，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，，从而得证结论；
（2）易证是等边三角形，得到，，从而求得，进而根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求得．过点E作交延长线于点，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵在矩形，，
∴，
∴，
∴在中，，
过点E作交延长线于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键，
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过证明，得到，再根据正方形的性质求证即可；
（2）通过证明和，即可求证；
（3）利用相似三角形的性质得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
A
D
D
C
B
C
D
B
C