2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级上学期期中数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是()
A．2，3，4B．2，3，5C．2，2，4D．2，2，5
2．（3 分）如图，在ABC 中， CD 为 AB 边上的中线，若 AB  10 ，则 AD  ()
A．2B．3C．4D．5
3．（3 分）如图点 P 在AOB 的平分线上，PD  OA ，垂足为 D ，已知 PD  6 ，则点 P 到OB 的距离是()
A．3B．4C．5D．6 4．（3 分）下列计算正确的是()
A． a2  a3  a5
B． (a2b)3  a2b3
C． (a2 )3  a8
D． (a2 )3  a6
5．（3 分）内角和为360 的多边形是()
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3 分）计算(x 1)2 的结果是()
A． x2  1
B． x2  2x  1
C． x2  2x  1
D． x2  2x  1
7．（3 分）如图， a ， b ， c 分别表示ABC 的三边长，则下面与ABC 一定全等的三角形是()
A．①B．②C．③D．④
8．（3 分）如果 x2  kxy 16 y2 是一个完全平方式，那么 k 的值是()
A．4B． 4C．8D． 8
9．（3 分）如图， ABC 的三边 AB ， BC ，CA 的长分别为 20，30，40， O 是ABC 三条角平分线的交点，则 SABO : SBCO : SCAO 等于()
A．1:1:1B．1: 2 : 3C． 2 : 3 : 4D． 3 : 4 : 5
10．（3 分）如图，四边形 ABDC 中，对角线 AD 平分BAC ， ACD  136 ， BCD  44 ，则ADB 的度数为()
A． 54B． 50C． 48D． 46
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在ABC 中， B  40 ， C  70 ，则A 的度数为 ．
12．（3 分）如图1 ， 2 ， 3 分别是ABC 的外角，则1  2  3   ．
13．（3 分）计算： (2a)3  ．
14．（3 分）如果正 n 边形的一个内角与外角的比是5 :1 ，那么 n  ．
15．（3 分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 AB 与正方形的边CD 在同一条直线上，则BOC 的度数是．
16．（3 分）如图ABC 中， C  90 ， AD 平分BAC ， DE  AB 于 E ，给出下列结论：① DC  DE ；
② DA 平分CDE ；③ DE 平分ADB ；④ BE  AC  AB ；⑤ BAC  BDE ．其中正确的是（写序号）
三、解答题（本题有 9 题，满分 72 分）
17．（6 分）计算：（1） (2x 1)2 ；（2） (4x3  8x2 )  2x ．
18．（6 分）如图，点 B 、C 、 E 、 F 共线， AB  DC ， B  C ， BF  CE ．求证： ABE  DCF ．
19．（6 分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为 1，点 A ，点 B ，点C 在小正方形的顶点上．
画出ABC 中边 BC 上的高 AD ；
画出ABC 中边 AC 上的中线 BE ；
直接写出ABE 的面积为．
20．（6 分）已知 a  b  6 ， ab  3 ．求下列代数式的值：
（1） a2  b2 ；（2） (a  b)2 ．
21．（6 分）已知一个正多边形的边数为 n ．
若这个多边形的内角和为其外角和的 4 倍，求 n 的值；
若这个正多边形的一个内角为135 ，求 n 的值．
22．（8 分）小明利用一根长 3 m 的竿子来测量路灯 AB 的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点 P ，使 BP  3m ， 并测得 APB  70 ， 然后把竖直的竿子 CD(CD  3m) 在 BP 的延长线上左右移动， 使
CPD  20 ，此时测得 BD  11.2m ．请根据这些数据，计算出路灯 AB 的高度．
23．（10 分）已知在平面直角坐标系中， A(4, 0) ， B(0, 3) ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC ， AB  AC ， BAC  90 ．
直接写出OA  OB 的值；
求点C 坐标；
若点 A ， B 是 x ， y 轴正半轴上的动点， BQ ， AQ 分别是ABy 和BAx 的角平分线，交点为Q ， 求Q 的大小．
24．（12 分）如果两个角的差等于30 ，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如 70 ， 40 ，  30 ，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是
的“伙伴角”．
已知1 和2 互为“伙伴角”，
1  2 ，且1 和2 互补，求1 的度数；
在ABC 中， ACB  90 ， AE 是角平分线．
①如图 1，过点C 作 AB 的平行线CM ，射线CN 平分BCM ，且与射线 AE 交于点 N ．若ANC 与ABC
互为“伙伴角”，则ABC  ；
②如图 2，过点C 作 AB 的垂线，垂足为 D ， AE 、CD 相交于点 F ．若FCE 与CEF 互为“伙伴角”，求ABC 的度数．
25．（12 分）（1）图 1 中，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于 a 、b 的等量关系是 ；
尝试解决：
①已知： m  n  2 ， m2  n2  7 ，则 mn ；
②已知： (4  x)(5  x)  6 ，求(4  x)2  (5  x)2 的值；
填数游戏：如图 2，把数字1 ~ 9 填入构成三角形状的 9 个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 21，将每边四个数字的平方和分别记 A 、B 、C ，已知 A  B  C  411 ．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为 x 、 y 、 x  y ，求 xy 的值．
2023-2024 学年广东省广州市南武教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3 分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是()
A．2，3，4B．2，3，5C．2，2，4D．2，2，5
【解答】解： A 、 2  3  4 ，能构成三角形；
B 、 2  3  5 ，不能够组成三角形；
C 、 2  2  4 ，不能构成三角形；
D 、 2  2  5 ，不能构成三角形． 故选： A ．
2．（3 分）如图，在ABC 中， CD 为 AB 边上的中线，若 AB  10 ，则 AD  ()
A．2B．3C．4D．5
【解答】解： CD 为 AB 边上的中线， AB  10 ，
 AD  1 AB  5 ，
2
故选： D ．
3．（3 分）如图点 P 在AOB 的平分线上，PD  OA ，垂足为 D ，已知 PD  6 ，则点 P 到OB 的距离是()
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如图，过点 P 作 PE  OB ，
 OC 是AOB 的平分线，点 P 在OC 上，且 PD  OA ， PE  OB ，
 PE  PD ，
又 PD  6 ，
 PE  PD  6 ． 故选： D ．
4．（3 分）下列计算正确的是()
A． a2  a3  a5
B． (a2b)3  a2b3
C． (a2 )3  a8
D． (a2 )3  a6
【解答】解： A 、 a2 与 a3 不属于同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B 、(a2b)3  a6b3 ，故选项错误，不符合题意； C 、(a2 )3  a6 ，故选项错误，不符合题意； D 、(a2 )3  a6 ，故选项正确，符合题意．
故选： D ．
5．（3 分）内角和为360 的多边形是()
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【解答】解：设所求多边形边数为 n ， 则(n  2)180  360 ，
解得 n  4 ．
故选： B ．
6．（3 分）计算(x 1)2 的结果是()
A． x2  1
B． x2  2x  1
C． x2  2x  1
D． x2  2x  1
【解答】解：原式 x2  2x  1 ． 故选： C ．
7．（3 分）如图， a ， b ， c 分别表示ABC 的三边长，则下面与ABC 一定全等的三角形是()
A．①B．②C．③D．④
【解答】解： A 、其中有一个角相等，两条边相等，但是其中的角不是两条边的夹角，不能证明三角形全等，
故此选项不符合题意；
B 、180  72  50  58 ，所以这两个三角形有一个角对应相等，且有两条边对应相等，这个角也是两条
边的夹角，可以证明三角形全等， 故此选项符合题意；
C 、虽然由一个角和两条边对应相等，且角是夹角，但是边不是对应相等的，不能证明三角形全等， 故此选项不符合题意；
D 、有两个角相等，但边不是对应相等的，不能证明三角形全等， 故此选项不符合题意；
故选： B ．
8．（3 分）如果 x2  kxy 16 y2 是一个完全平方式，那么 k 的值是()
A．4B． 4
【解答】解：(x  4 y)2  x2  8xy  16 y2 ，
 k  8 ， 故选： D ．
C．8D． 8
9．（3 分）如图， ABC 的三边 AB ， BC ，CA 的长分别为 20，30，40， O 是ABC 三条角平分线的交点，则 SABO : SBCO : SCAO 等于()
A．1:1:1B．1: 2 : 3C． 2 : 3 : 4D． 3 : 4 : 5
【解答】解：过点O 作OD  AC 于 D ， OE  AB 于 E ， OF  BC 于 F ，
点O 是内心，
OE  OF  OD ，
 SABO
: SBCO
: SCAO
 1  AB  OE : 1  BC  OF : 1  AC  OD  AB : BC : AC  2 : 3 : 4 ，
222
故选： C ．
10．（3 分）如图，四边形 ABDC 中，对角线 AD 平分BAC ， ACD  136 ， BCD  44 ，则ADB 的度数为()
A． 54B． 50C． 48D． 46
【解答】解：如图所示，过 D 作 DE  AB 于 E ， DF  AC 于 F ， DG  BC 于G ，
 AD 平分BAC ， DE  AB 于 E ， DF  AC 于 F ，
 DF  DE ，
又 ACD  136 ， BCD  44 ，
ACB  92 ， DCF  44 ，
CD 平分BCF ，
又 DF  AC 于 F ， DG  BC 于G ，
 DF  DG ，
 DE  DG ，
 BD 平分CBE ，
DBE  1 CBE ，
2
 AD 平分BAC ，
BAD  1 BAC ，
2
ADB  DBE  BAD  1 (CBE  BAC)  1 ACB  1  92  46 ，
222
故选： D ．
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在ABC 中， B  40 ， C  70 ，则A 的度数为 70 ．
【解答】解：B  40 ， C  70 ， A  B  C  180 ，
A  180  B  C  70 ． 故答案为： 70 ．
12．（3 分）如图1 ， 2 ， 3 分别是ABC 的外角，则1  2  3  360  ．
【解答】解：三角形的外角和为360 ，
1  2  3  360 ， 故答案为： 360 ．
13．（3 分）计算： (2a)3  8a3 ．
【解答】解： (2a)3  (2)3 a3  8a3 ．
14．（3 分）如果正 n 边形的一个内角与外角的比是5 :1 ，那么 n  12．
【解答】解：正 n 边形的一个内角与外角的比是5 :1 ， 设外角的度数为 x ，则内角的度数为5x ，
 x  5x  180 ， 解得 x  30 ，
故 n  360  12 ，
30
故答案为：12．
15．（3 分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 AB 与正方形的边CD 在同一条直线上，则BOC 的度数是 30 ．
【解答】解：图中六边形为正六边形，
ABO  (6  2)  180  6  120 ，
OBC  180  120  60 ，
正方形中， OC  CD ，
OCB  90 ，
BOC  180  90  60  30 ， 故答案为： 30 ．
16．（3 分）如图ABC 中， C  90 ， AD 平分BAC ， DE  AB 于 E ，给出下列结论：① DC  DE ；
② DA 平分CDE ；③ DE 平分ADB ；④ BE  AC  AB ；⑤ BAC  BDE ．其中正确的是 ①②④⑤
（写序号）
【解答】解： C  90 ， AD 平分BAC ， DE  AB ，
 DC  DE ，故①正确；
 AD  AD

在RtACD 和RtAED 中， DC  DE ，
RtACD  RtAED(HL) ，
ADC  ADE ， AC  AE ，
 DA 平分CDE ，故②正确；
BE  AC  BE  AE  AB ，故④正确；
BAC  B  90 ，
BDE  B  90 ，
BAC  BDE ，故⑤正确；
 ADE  BAD  90 ，而BAD  B ，
BDE  ADE ，
 DE 平分ADB 错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（本题有 9 题，满分 72 分）
17．（6 分）计算：
（1） (2x 1)2 ；
（2） (4x3  8x2 )  2x ．
【解答】解：（1） (2x 1)2  4x2  4x  1；
（2） (4x3  8x2 )  2x
 4x3  2x  8x2  2x
 2x2  4x ．
18．（6 分）如图，点 B 、C 、 E 、 F 共线， AB  DC ， B  C ， BF  CE ．求证： ABE  DCF ．
【解答】证明： BF  CE ，
 BF  EF  CE  EF ， 即 BE  CF ，
在ABE 和DCF 中，
 AB  DC

B  C，

BE  CF
ABE  DCF (SAS ) ．
19．（6 分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为 1，点 A ，点 B ，点C 在小正方形的顶点上．
画出ABC 中边 BC 上的高 AD ；
画出ABC 中边 AC 上的中线 BE ；
直接写出ABE 的面积为 4．
【解答】解：（1）如图所示，线段 AD 即为所求；
如图所示，线段 BE 即为所求；
S
ABC
 1 BC  AD  1  4  4  8 ．
22
ABE 的面积 1 S
2
ABC
 4 ，
故答案为：4．
20．（6 分）已知 a  b  6 ， ab  3 ．求下列代数式的值：
（1） a2  b2 ；
（2） (a  b)2 ．
【解答】解：（1） a  b  6 ， ab  3 ．
a2  b2  (a  b)2  2ab
 36  6
 42 ；
（2） a  b  6 ， ab  3 ．
(a  b)2  (a  b)2  4ab
 36  12
 48 ．
21．（6 分）已知一个正多边形的边数为 n ．
若这个多边形的内角和为其外角和的 4 倍，求 n 的值；
若这个正多边形的一个内角为135 ，求 n 的值．
【解答】解：（1）由题意可得(n  2) 180  360 4 ，解得： n  10 ；
（2）由题意可得(n  2) 180  135n ，
解得： n  8 ．
22．（8 分）小明利用一根长 3 m 的竿子来测量路灯 AB 的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点 P ，使 BP  3m ， 并测得 APB  70 ， 然后把竖直的竿子 CD(CD  3m) 在 BP 的延长线上左右移动， 使
CPD  20 ，此时测得 BD  11.2m ．请根据这些数据，计算出路灯 AB 的高度．
【解答】解：CPD  20 ， APB  70 ， CDP  ABP  90 ，
DCP  APB  70 ． 在CPD 和PAB 中，

CDP  PBA
CD  PB，

DCP  BPA
CPD  PAB(ASA) ．
 DP  AB ．
 BD  11.2m ， BP  3m ，
 DP  BD  BP  8.2m ，即 AB  8.2m ． 答：路灯 AB 的高度是8.2m ．
23．（10 分）已知在平面直角坐标系中， A(4, 0) ， B(0, 3) ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC ， AB  AC ， BAC  90 ．
直接写出OA  OB 的值；
求点C 坐标；
若点 A ， B 是 x ， y 轴正半轴上的动点， BQ ， AQ 分别是ABy 和BAx 的角平分线，交点为Q ， 求Q 的大小．
【解答】解：（1） A(4, 0) ， B(0, 3) ，
OA  4 ， OB  3 ，
 OA  OB  12 ；
作CD  x 轴于点 D ，
则CDA  AOB  90 ，
 BAC  90 ，
DAC  OBA  90  OAB ， 在CDA 和AOB 中，
CDA  AOB

DAC  OBA ，

 AC  BA
CDA  AOB (AAS ) ，
 A(4, 0) ， B(0, 3) ，
 DC  OA  4 ， DA  OB  3 ，
 OD  OA  DA  4  3  7 ，
C(7, 4) ．
如图，
 BQ 平分ABy ， AQ 平分BAx ，
QBA  1 (180  OBA) ， BAQ  1 (180  OAB) ，
22
QBA  BAQ  180  1 (OBA  OAB)  180  1  90  135 ，
22
Q  180  QBA  BAQ  45 ．
24．（12 分）如果两个角的差等于30 ，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如 70 ， 40 ，  30 ，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是
的“伙伴角”．
已知1 和2 互为“伙伴角”，
1  2 ，且1 和2 互补，求1 的度数；
在ABC 中， ACB  90 ， AE 是角平分线．
①如图 1，过点C 作 AB 的平行线CM ，射线CN 平分BCM ，且与射线 AE 交于点 N ．若ANC 与ABC
互为“伙伴角”，则ABC  15 或75 ；
②如图 2，过点C 作 AB 的垂线，垂足为 D ， AE 、CD 相交于点 F ．若FCE 与CEF 互为“伙伴角”，求ABC 的度数．
【解答】解：（1）根据题意可得，
1  2  30 ， 1  2  180 ， 解得： 1  105 ；
（2）①设ABC  2，
 AB / /CM ，
BCM  2，
 CN 平分BCM ，
BCN  1 BCM  ，
2
 ACB  90 ，
BAC  90  ABC  90  2， ACN  ACB  BCN  90 ，
 AE 平分BAC ，
NAC  1 BAC  1  (90  2)  45 ，
22
在ANC 中，
ANC  180  NAC  ACN  180  (45  )  (90  )  45 ， 根据题意可得，
当ANC  ABC  30 时， 45  2 30 ，
解得 2a  15 ，即ABC  15 ，
当ABC  ANC  30 时， 2 45  30 ， 解得 2a  75 ，即ABC  75 ，
综上： ABC  15 或75 ； 故答案为：15 或75 ；
②设ABC  2，
 AE 平分BAC ，
EAC  1 BAC  1  (90  2)  45 ，
22
 CD  AB ， ABC  BAC  90 ， DCA  BAC  90 ，
DCA  ABC  2a ，
FCE  ACB  DCA  90  2， FEC  ACE  CAE  45  a ， Ⅰ： FEC  FCE ，
FEC  FCE  30 ，
 45   (90  2)  30 ， 解得： 2 50 ，
ABC  50 ．
Ⅱ： FEC  FCE ，
FCE  FEC  30 ，
(90  2)  (45  )  30 ， 解得： 2 10 ，
ABC  10 ．
综上： ABC 的度数为50 或10 ．
25 ．（ 12 分）（ 1 ） 图 1 中， 通过计算图中阴影部分的面积， 可得到关于 a 、 b 的等量关系是
4ab  (a  b)2  (a  b)2 ；
尝试解决：
①已知： m  n  2 ， m2  n2  7 ，则 mn ；
②已知： (4  x)(5  x)  6 ，求(4  x)2  (5  x)2 的值；
填数游戏：如图 2，把数字1 ~ 9 填入构成三角形状的 9 个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 21，将每边四个数字的平方和分别记 A 、B 、C ，已知 A  B  C  411 ．如果将位于这个三角形顶点处
的三个圆圈填入的数字分别表示为 x 、 y 、 x  y ，求 xy 的值．
【解答】解：（1）图中阴影部分面积  4ab  (a  b)2  (a  b)2 ，故答案为： 4ab  (a  b)2  (a  b)2 ；
（2）① (m  n)2  m2  2mn  n2 ，
 m  n  2 ， m2  n2  7 ，
 4  7  2mn ，
 mn   3 ，
2
故答案为：  3 ，
2
② (4  x)2  (5  x)2  (4  x)2  (5  x)2  2(4  x)(5  x)  12  [4  x  (5  x)]2  12  13 ；
（3）各边上的四个数字的和都等于 21，
三角形三条边上的数字之和为： 21 3  63 ，
三角形各圆圈的数字之和为：1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 ，
为什么63  45 ，这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字都加了两次，
 x  y  x  y  63  45 ，
 2x  2 y  18 ，
2(x  y)  18 ，
 x  y  9 ，
 A  B  C  411 ，
而三角形各圆圈的数字的平方和为12  22  32  42  52  62  72  82  92  285 ，
为什么 411  285 呢？
这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次
(x  y)2  x2  y2  411  285  126 ，
 x2  2xy  y2  x2  y2  156 ，
2(x2  y2  xy)  126 ，
 x2  y2  xy  63 ，
 x  y  9 ，
． (x  y)2  92 ，
 x2  2xy  y2  81，
 x2  y2  81  2xy ，
将 x2  y2  81  2xy 代入 x2  y2  xy  63 ，得81  2xy  xy  63 ，
xy  81  63  18 ，
 xy  18 ．