2021-2022学年广州市南沙区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广州市南沙区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一项是符合题目要求的．）
下列图形中，不具有稳定性的是（）
A 等腰三角形B. 平行四边形C. 锐角三角形D. 等边三角形
下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（）
A.B.
C.D.
下面的计算正确的是（）
A. （ab）2＝ab2B. （ab）2＝2abC. a3•a4＝a12D. （a3）4＝a12
当 x＝﹣2 时，下列分式没有意义的是（）
x  2
x  2
x
x  2
x  2
C.
2x
x  2
D.2x
如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数是（）
A. 115°B. 65°C. 40°D. 25°
6. 计算（2x﹣1）（x＋2）的结果是（）
A. 2x2＋x﹣2B. 2x2﹣2C. 2x2﹣3x﹣2D. 2x2＋3x﹣2
等腰三角形的一边长是 5，另一边长是 10，则周长为（）
A. 15B. 20C. 20 或 25D. 25
如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，CD＝6，AB＝12，则△ABD 的面积是
（）
A. 18B. 24C. 36D. 72
如图，将△ABC 沿着 DE 减去一个角后得到四边形 BCED，若∠BDE 和∠DEC 的平分线交于点 F，∠DFE
＝α，则∠A 的度数是（）
A. 180°﹣αB. 180°﹣2αC. 360°﹣αD. 360°﹣2α
若正整数 m 使关于 x 的分式方程
m
(x  2)(x 1)
x
x  2
x  2 的解为正数，则符合条件的 m 的个数是
x 1
（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介， 同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是 6μm～8μm．6μm 用科学记数法可以表示为m．
在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 8m，17m，那么甲、乙两人的距离 d 的范
围是．
3y
化简：
2xy
的计算结果是．
2x  2 yx2  xy
把多项式 x2﹣6x＋m 分解因式得（x＋3）（x﹣n），则 m＋n 的值是 ．
如图，在四边形中 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB 于点 E，AB＝8，BC
＝4，则 BE的长度是．
若|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，点 B 关于 y 轴对称的点为 C，则点 C
的坐标是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2
3
已知一个正多边形一个内角等于一个外角的
2
倍，求这个正多边形的边数．
如图，已知∠A＝∠C，AE、CF 分别与 BD 交于点 E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
如图，在△ABC 中，
尺规作图：作边 AC的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连结 CD．
若△BCD 的周长等于 18，AE＝4，求△ABC 的周长．
已知 T＝ (m 
4m  4 )  m．

2
mm  2
化简 T．
若 m2＋2m﹣3＝0，求此时 T 的值．
为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学
校的路程是 9 千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的 3 倍，所以黄老师每天上
班要比开车早出发 20 分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
求黄老师驾车的平均速度；
据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为 2.4 千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法．如 x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式， 分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣ 42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a＋8；
请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC 的形状并加以说明．
如图①，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB的平分线交于点 O，∠A＝α．
如图①，若∠A＝50°，求∠BOC 的度数．
如图②，连接 OA，求证：OA 平分∠BAC．
如图③，若射线 BO 与∠ACB 的外角平分线交于点 P，求证 OC⊥PC．
在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 P、Q 为 BC 边上的两个动点（点 P 位于点 Q 的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2
如图①，若点 E 为 CD 边上的中点，当 Q 移动到 BC 边上的中点时，求证：AP＝QE；
如图②，若点 E 为 CD 边上的中点，在 PQ 的移动过程中，若四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长；
如图③，若 M、N 分别为 AD 边和 CD 边上的两个动点（M、N 均不与顶点重合），当 BP＝3，且四边形 PQNM 的周长最小时，求此时四边形 PQNM 的面积
2021－2022 学年广东省广州市南沙区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．）
下列图形中，不具有稳定性的是（）
A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可作出选择．
【详解】解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故 A 符合题意； 故选：B．
【点睛】本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念分别得出对称轴的条数进而求解．
【详解】解：A、有 2 条对称轴，
B、有 2 条对称轴，
C、有 3 条对称轴，
D、有 1 条对称轴，
故对称轴最多的是选项 C． 故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
下面的计算正确的是（）
A. （ab）2＝ab2B. （ab）2＝2abC. a3•a4＝a12D. （a3）4＝a12
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：A．（ab）2=a2b2，故 A 不符合题意； B．（ab）2=a2b2，故 B 不符合题意； C．a3•a4=a7，故 C 不符合题意； D．（a3）4=a12，故 D 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
当 x＝﹣2 时，下列分式没有意义的是（）
x  2
x  2
x
x  2
x  2
C.
2x
x  2
D.2x
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的分母为 0 时，分式无意义即可解答．
x  2
【详解】解：A．分式
x
x  2
没有意义时，x=-2，故 A 符合题意；
分式
分式
x  2
x  2 2x
x  2
没有意义时，x=2，故 B 不符合题意；
没有意义时，x=0，故 C 不符合题意；
分式 2x 没有意义时，x=0，故 D 不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母为 0 时，分式无意义是解题的关键．
如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数是（）
A. 115°B. 65°C. 40°D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：由三角形内角和定理得，∠2=180°-115°-25°=40°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=40°， 故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的 关键．
6. 计算（2x﹣1）（x＋2）的结果是（）
A. 2x2＋x﹣2B. 2x2﹣2C. 2x2﹣3x﹣2D. 2x2＋3x﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式=2x2+4x-x-2
=2x2+3x-2． 故选：D．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
等腰三角形的一边长是 5，另一边长是 10，则周长为（）
A. 15B. 20C. 20 或 25D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三 角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为 5 时，5+5=10，所以不能构成三角形；
当腰为 10 时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25． 故选 D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，CD＝6，AB＝12，则△ABD 的面积是
（）
A. 18B. 24C. 36D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】作 DH⊥AB 于 D，如图，根据角平分线的性质得到 DH=DC=6，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作 DH⊥AB 于 D，如图，
∵AD 平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=6，
∴S ABD= 1 ×12×6=36．
△2
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公 式．
如图，将△ABC 沿着 DE 减去一个角后得到四边形 BCED，若∠BDE 和∠DEC 的平分线交于点 F，∠DFE
＝α，则∠A 的度数是（）
A. 180°﹣αB. 180°﹣2αC. 360°﹣αD. 360°﹣2α
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠DFE=α得到∠FDE+∠FED，再根据角平分线的性质求出∠BDE+∠CED=360°-2α，利用外角 的性质得到∠ADE+∠AED=2α，最后根据三角形内角和求出结果．
【详解】解：∵∠DFE=α，
∴∠FDE+∠FED=180°-α，
由角平分线的定义可知：∠BDF=∠FDE，∠CEF=∠FED，
∴∠BDE+∠CED=2∠FDE+2∠FED=360°-2α，
∴∠ADE+∠AED=180°-∠BDE +180°-∠CED=2α，
∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-2α，
故选 B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线得
到相等的角，根据内角和进行计算．
若正整数 m 使关于 x 的分式方程
m
(x  2)(x 1)
x
x  2
x  2 的解为正数，则符合条件的 m 的个数是
x 1
（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求 m 的取值范围，进而可求解．
【详解】解：去分母得：m=x（x-1）-（x-2）（x+2），即 m=4-x，
解得 x=4-m，
由 x 为正数且（x-1）（x+2）≠0 可得：4-m＞0 且 m≠6 或 3，，解得：m＜4 且 m≠3，．
∵m 为正整数，
∴m 的值为 1，2 共 2 个数． 故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求 m 的取值范围，求得 x=4-m，即可列出关于 m 的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉（x-1）（x+2）≠0，这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介， 同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是 6μm～8μm．6μm 用科学记数法可以表示为m．
【答案】6×10-6
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：6μm=6×0.000001m=6×10-6m． 故答案为：6×10-6．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 8m，17m，那么甲、乙两人的距离 d 的范
围是．
【答案】9cm ＃d
25cm
【解析】
【分析】分别画图表示出距离最短和最长时的情况，从而得到取值范围．
【详解】解：如图，足球、甲、乙在一条直线上时， 此时甲、乙两人的距离 d 最短，且为 17-8=9cm；
如图，甲、足球、乙在一条直线上时，
此时甲、乙两人的距离 d 最长，且为 17+8=25cm；
综上：甲、乙两人的距离 d 的范围是9cm ＃d25cm ，
故答案为： 9cm ＃d25cm ．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，理解最长和最短的位置，解题的关键是注意分情况画出图形．
3y
化简：
2xy
的计算结果是．
2x  2 yx2  xy
【答案】
7 y 2x  2 y
【解析】
【分析】通分并利用同分母分式的加法法则进行计算即可求出答案．
3y
【详解】解：
2xy
3xy
= 2x  x  y 
2x  2 yx2  xy

4xy 2x  x  y 
7xy
= 2x  x  y 
7 y
= 2x  2 y
故答案为：
7 y
2x  2 y ．
【点睛】本题考查了分式的加法，题目比较简单，在进行计算时要注意把最后结果进行化简是本题的关键．
把多项式 x2﹣6x＋m 分解因式得（x＋3）（x﹣n），则 m＋n 的值是 ．
【答案】-18
【解析】
【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出 m 与 n 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：x2-6x+m=（x+3）（x-n）=x2+（3-n）x-3n，
∴3-n=-6，m=-3n， 解得：m=-27，n=9， 则原式=-27+9=-18，
故答案为：-18．
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
如图，在四边形中 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB 于点 E，AB＝8，BC
＝4，则 BE 的长度是．
【答案】6
【解析】
【分析】过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，首先证明∠DAE=∠FCD，再证明△AED≌△CFD，可得 AE=FC，然后证明 Rt△BFD≌Rt△BED 可得 FB=BE，再根据线段的和差关系可得 AB=2BE-BC，则可得出答案．
【详解】解：如图，过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，
∵∠BCD+∠FCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠DAE=∠FCD，
∵BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DF=DE，
在△AED 和△CFD 中，
DEA  DFC

DAE  FCD ，

DE  DF
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=FC，
在 Rt△BFD 和 Rt△BED 中，
DB  DB

DF  DE ，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB=AE+BE=BE-BC+BE=2BE-BC，
∵AB=8，BC=4，
∴BE=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解决本题的关键是作出辅助线．
若|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，点 B 关于 y 轴对称的点为 C，则点 C
的坐标是．
【答案】（-2，3）
【解析】
【分析】依据非负数的性质，即可得到 x，y 值，依据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，即可得出点 C
的坐标．
【详解】解：∵|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，
∴2x-4=0，y+3=0，
∴x=2，y=-3，
∴A（2，-3），
∵点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，
∴B（2，3），
∵点 B 关于 y 轴对称的点为 C，
∴C（-2，3），
故答案为 ：（-2，3）．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同， 横坐标互为相反数．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2
【答案】2x6
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．
【详解】解：3x2•x4-（-x3）2
=3x6-x6
=2x6．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握法则是解题的关键．
3
已知一个正多边形一个内角等于一个外角的
2
【答案】5
【解析】
倍，求这个正多边形的边数．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的 360°，从而可根据一个正多边形的一个
3
内角等于一个外角的
2
列方程求解可得．
【详解】解：设此正多边形为正 n 边形．
3
∵正多边形的一个内角等于一个外角的 ，
2
3
∴此正多边形的内角和等于其外角和的 ，
2
3
∴ ×360°=（n-2）•180°，
2
解得 n=5．
答：正多边形的边数为 5．
【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
如图，已知∠A＝∠C，AE、CF 分别与 BD 交于点 E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由已知设 AB∥DC，DE＝BF，得到∠B=∠D，BE=DF，再根据∠A=∠C，利用 AAS 证明△ABE≌△CDF，得到∠AEB=∠CFD，再根据平行线的判定即可证明．
【详解】解：命题为：若 AB∥DC，DE＝BF，则 AE∥CF； 证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即 BE=DF，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF．
【点睛】此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABE≌△CDF．
如图，在△ABC 中，
尺规作图：作边 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连结 CD．
若△BCD 的周长等于 18，AE＝4，求△ABC 的周长．
【答案】（1）见解析（2）26
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）求出 BC+AB=18，AC=8，可得结论．
【小问 1 详解】
解：如图，直线 DE 即为所求．
【小问 2 详解】
∵DE 垂直平分线段 AC，
∴DA=DC，AE=CE=4，
∴AC=8，
∵△BDC 的周长=BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=18．
∴△ABC 的周长=BC+AB+AC=18+8=26．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种 基本作图，属于中考常考题型．
已知 T＝ (m 
4m  4 )  m．

2
mm  2
化简 T．
若 m2＋2m﹣3＝0，求此时 T 的值．
【答案】（1） m2  2m
（2）3
【解析】
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）已知等式变形得到 m2＋2m=3，代入计算即可求出 T 的值．
【21 题详解】
4m  4 m2
解：T＝  m 
m  m  2


 m2  4m  4   m2
=mm m  2

m2  4m  4m2
=

mm  2
=

m  22m2

mm  2
= m2  2m ；
【22 题详解】
∵m2＋2m﹣3＝0，
∴m2＋2m＝3，
∴T＝m2＋2m＝3．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学 校的路程是 9 千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的 3 倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发 20 分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
求黄老师驾车的平均速度；
据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为 2.4 千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
【答案】（1）54 千米/小时
（2）0.8 千克
【解析】
【分析】（1）可设黄老师骑自行车的平均速度为 x 千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解；
（2）由（1）可得黄老师开车的平均速度，再计算黄老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少 千克．
【小问 1 详解】
解：设黄老师骑自行车的平均速度为 x 千米/小时，
依题意有， 9  9
x3x
 1 ，
3
解得 x=18，
经检验，x=18 是原方程的解．则3x = 54,
故黄老师驾车的平均速度为 54 千米/小时；
【小问 2 详解】
解：由（1）可得黄老师开车的平均速度为 18×3=54（千米/小时），
9
×2×2.4=0.8（千克）．
54
故可以减少碳排放量 0.8 千克．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法．如 x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式， 分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣ 42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a＋8；
请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC 的形状并加以说明．
【答案】（1） 2 a  22
（2）  x  y  3 x  y
（3）等腰三角形
【解析】
【分析】（1）先提公因式 2，再利用完全平方公式分解；
先分组，再利用分组分解法求解；
把等式左边利用分组分解法因式分解得到a  ca  b  0 ，利用三角形三边的关系得到 a=c 或 a=b，
从而可判断△ABC 的形状．
【小问 1 详解】解： 2a2  8a  8
= 2a2  4a  4
= 2 a  22 ；
【小问 2 详解】
x2  y2  3x  3y
=  x  y x  y  3 x  y
=  x  y  3 x  y ；
【小问 3 详解】
a2  ab  ac  bc
= a2  ab  bc  ac
= a a  b  c b  a
= a a  b  c a  b
= a  ca  b
=0
∴a=c 或 a=b
∴△ABC 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的 应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．
如图①，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，∠A＝α．
如图①，若∠A＝50°，求∠BOC 的度数．
如图②，连接 OA，求证：OA 平分∠BAC．
如图③，若射线 BO 与∠ACB 的外角平分线交于点 P，求证 OC⊥PC．
【答案】（1）115°
（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC 与∠ACB 的和，再根据角平分的定义求出∠OBC 与∠OCB 的和即可解答；
根据角平分线的性质定理，想到过点 O 作 OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，证出 OE=OF 即可解答；
根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答．
【小问 1 详解】
解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，
∴∠OBC= 1 ∠ABC，∠OCB= 1 ∠ACB，
22
∴∠OBC+∠OCB= 1 ∠ABC+ 1 ∠ACB=65°，
22
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
【小问 2 详解】
证明：过点 O 作 OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA 平分∠BAC；
【小问 3 详解】
证明：∵OC 平分∠ACB，OP 平分∠ACD，
∴∠ACO= 1 ∠ACB，∠ACP= 1 ∠ACD，
22
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
= 1 ∠ACB+ 1 ∠ACD
22
= 1 ∠BCD
2
= 1 ×180°
2
=90°，
∴OC⊥CP．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 P、Q 为 BC 边上的两个动点（点 P 位于点 Q 的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2
如图①，若点 E 为 CD 边上的中点，当 Q 移动到 BC 边上的中点时，求证：AP＝QE；
如图②，若点 E 为 CD 边上的中点，在 PQ 的移动过程中，若四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长；
如图③，若 M、N 分别为 AD 边和 CD 边上的两个动点（M、N 均不与顶点重合），当 BP＝3，且四边形 PQNM 的周长最小时，求此时四边形 PQNM 的面积．
【答案】（1）见解析（2）4
（3）4
【解析】
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得 AP=QE；
要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，再由 CQ=EC 即可求出 BP 的长度；
要使四边形 PQNM 的周长最小，由于 PQ 是定值，只需 PM+MN+QN 的值最小即可，作点 P 关于 AD
的对称点 F，作点 Q 关于 CD 的对称点 H，连接 FH，交 AD 于 M，交 CD 于 N，连接 PM，QN，此时四边形 PQNM 的周长最小，由面积和差关系可求解．
【小问 1 详解】
解：证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点 E 是 CD 的中点，点 Q 是 BC 的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
【小问 2 详解】
如图②，在 AD 上截取线段 AF=PQ=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点， 过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE 中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2， 解得 x=4，
∴BP=4；
【小问 3 详解】
如图③，作点 P 关于 AD 的对称点 F，作点 Q 关于 CD 的对称点 H，连接 FH，交 AD 于 M，交 CD 于 N， 连接 PM，QN，此时四边形 PQNM 的周长最小，连接 FP 交 AD 于 T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形 PQNM 的面积= 1 ×PF×PH- 1 ×PF×TM- 1 ×QH×CN= 1 ×8×8- 1 ×8×4- 1 ×6×3=7．
222222
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角 三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点 P 和点 Q 位置是解题的关键．