2023-2024学年广东省广州实验中学八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州实验中学八年级上学期期中数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）如图，下列图案中不是轴对称图形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是()
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点(3, 2) 关于 x 轴对称的点是()
A． (3, 2)
B． (3, 2)
C． (3, 2)D． (2, 3)
4．（3 分）下面四个图形中，画出ABC 的边 BC 上的高正确的是()
A． B．
C． D．
5．（3 分）下列运算不正确的是（）
A．a2•a3＝a5B．a5•a5＝a25
C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a6
6．（3 分）如图， AB  AC ， AD  AE ，若添加下列一个条件后，仍无法判定ABD  ACE 的是()
BAC  DAE
BAD  CAE
BD  CE
ABD  ACE
7．（3 分）如图，在ABC 中， C  90 ， AD 是BAC 的角平分线，若CD  3 ， AB  8 ，则ABD 的面积是()
A．36B．24C．12D．10 8．（3 分）等腰三角形的一条边长为 6，另一边长为 14，则它的周长为()
A．26B．26 或 34C．34D．20
9．（3 分）如图在ABC 中， BO ， CO 分别平分ABC ， ACB ，交于O ， CE 为外角ACD 的平分线，
BO 的延长线交CE 于点 E ，若BOC  115 ，则2  ()
A． 30B． 25C． 20D． 35
10．（3 分）如图， MON  40 ， P 为MON 内一点， A 为OM 上一点， B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时， APB 的度数为()
A． 40B． 80C．100D．140
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.
11．（3 分）如图， ACD 是ABC 的外角，若ACD  120 ， B  70 ，则A  ．
12．（3 分）如图，已知ABC 中， BC  4 ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，若 AC  6 ，则BCD 的周长
．
13．（3 分）若正 n 边形的一个外角为72 ，则 n  ．
14．（3 分）若 xm  5 ， xn  1 ，则 x2mn ．
4
15．（3 分）如图， ABC 中， ACB  90 ， CD 是高，若A  30 ， BD  1，则 AD  ．
16．（3 分）如图，已知MON  30 ，点 A1 ， A2 ， A3 ，在射线ON 上，点 B1 ， B2 ， B3 ， 在射线OM上，△ A1B1 A2 ，△ A2 B2 A3 ，△ A3 B3 A4 ，均为等边三角形，若OA2  2 ，则△ An Bn An1 的周长为．
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分.
17．（4 分）计算： x2  x4  (2x3 )2 ．
18．（4 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD / / BC ， B  D ，连接 AC ．求证： ABC  CDA ．
19．（6 分）已知：如图，在△ ABC 中， AB  AC ， B  2A ．
求作 AC 边的垂直平分线，交 AB 于点 D 、交 AC 于点 E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
在（1）的条件下，连接CD ，求A 的度数．
20．（6 分）如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，DE  AB ，DF  AC ，垂足分别是 E ，F ，BE  CF ．求证： AD 是ABC 的角平分线．
21．（8 分）如图， AD 与 BC 相交于点O ， OA  OC ， A  C ， BE  DE ．求证： OE 垂直平分 BD ．
22．（10 分）如图，在单位长度为 1 的方格纸中画有一个ABC ．
画出ABC 关于 y 轴对称的△ ABC ；
写出点 A 、 B 的坐标；
求ABC 的面积．
23．（10 分）阅读材料：下面是底数大于 1 的数比较大小的两种方法：
方法一：比较 2a ， 2b 的大小：当 a  b 时， 2a  2b ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
方法二：比较340 和 260 的大小：因为340  (32 )20  920 ， 260  (23 )20  820 ， 9  8 ，所以340  260 ． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）比较大小： 2324 ， 2643 （直接填写“  ”或“  ”或“  ” ) ；
（2）已知 x  320 ， y  915 ，试比较 x ， y 的大小；
（3）已知 a  344 ， b  433 ， c  522 ，试比较 a ， b ， c 的大小．
24．（12 分）如图，已知△ ABC 中， AB  AC ， CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D ，使 BD  AB ．
若△ ACE 的面积为 2，则△ ACD 的面积为 ；（直接写出答案）
若 AC  4 ， BC  3 ，求△ ACE 和△ BCE 的周长之差；
证明： CD  2CE ．
25．（12 分） ABC 是等边三角形，点 D 是 AC 边上动点， CBD  (0   30) ，把ABD 沿 BD 对折，得到△ ABD ．
（1）如图 1，若 15 ，则CBA ．
如图 2，点 P 在 BD 延长线上，且DAP  DBC  ．
①试探究 AP ， BP ， CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若 BP  10 ， CP  m ，求CA 的长．（用含 m 的式子表示）
2023-2024 学年广东省广州实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（3 分）如图，下列图案中不是轴对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项 A 、B 、D 中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故 A 、 B 、 D 不符合题意；
选项C 中的图形不是轴对称图形，符合题意． 故选： C ．
2．（3 分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是()
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定 性．
故选： A ．
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点(3, 2) 关于 x 轴对称的点是()
A． (3, 2)
B． (3, 2)
C． (3, 2)D． (2, 3)
【解答】解：点(3, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标为(3, 2) ． 故选： A ．
4．（3 分）下面四个图形中，画出ABC 的边 BC 上的高正确的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、CD 不是ABC 的边 BC 上的高，不符合题意；
B 、CD 是ABC 的边 AB 上的高，不是ABC 的边 BC 上的高，不符合题意；
C 、 AD 不是ABC 的边 BC 上的高，符合题意； D 、 AD 不是ABC 的边 BC 上的高，不符合题意； 故选： C ．
5．（3 分）下列运算不正确的是（）
A．a2•a3＝a5B．a5•a5＝a25
C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a6
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故 A 不符合题意；
B、a5•a5＝a10，故 B 符合题意；
C、a4﹣2a4＝﹣a4，故 C 不符合题意； D、（﹣a2）3＝﹣a6，故 D 不符合题意； 故选：B．
6．（3 分）如图， AB  AC ， AD  AE ，若添加下列一个条件后，仍无法判定ABD  ACE 的是()
BAC  DAE
BAD  CAE
BD  CE
ABD  ACE
【解答】解： A 、由BAC  DAE ，得到 BAD  CAE ，由 SAS 判定ABD  ACE ，故 A 不符合题意；
B 、 BAD  CAE ，由 SAS 判定ABD  ACE ，故 B 不符合题意；
C 、 BD  CE ，由 SSS 判定ABD  ACE ，故C 不符合题意；
D 、 ABD 和ACE 分别是 AD 和 AE 的对角，不能判定ABD  ACE ，故 D 符合题意． 故选： D ．
7．（3 分）如图，在ABC 中， C  90 ， AD 是BAC 的角平分线，若CD  3 ， AB  8 ，则ABD 的面积是()
A．36B．24C．12D．10
【解答】解：过点 D 作 DE  AB 于 E ，
 AD 是BAC 的角平分线， DE  AB ， C  90 ，
 DE  CD  3 ，
 SABD
 1 AB  DE  1  8  3  12 ．
22
故选： C ．
8．（3 分）等腰三角形的一条边长为 6，另一边长为 14，则它的周长为()
A．26B．26 或 34C．34D．20
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为 6，底边长为 14 时，
 6  6  12  14 ，
不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为 14，底边长为 6 时，
它的周长 14  14  6  34 ； 综上所述：它的周长为 34， 故选： C ．
9．（3 分）如图在ABC 中， BO ， CO 分别平分ABC ， ACB ，交于O ， CE 为外角ACD 的平分线，
BO 的延长线交CE 于点 E ，若BOC  115 ，则2  ()
A． 30B． 25C． 20D． 35
【解答】解： OC 平分ACB ， CE 平分ACD ，
OCA  1 ACB ， ECA  1 ACD ，
22
ACB  ACD  180 ，
OCA  ECA  1 (ACB  ACD)  90 ，
2
即： OCE  OCA  ECA  90 ，
BOC  OCE  2 ， BOC  115 ，
2  BOC  OCE  115  90  25 ． 故选： B ．
10．（3 分）如图， MON  40 ， P 为MON 内一点， A 为OM 上一点， B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时， APB 的度数为()
A． 40B． 80C．100D．140
【解答】解：如图，作 P 点关于OM 、ON 的对称点 P1 ， P2 ， PP1 与OM 交点为C ， PP2 与ON 交点为 D ，
连接 P1 P2 交OM 、ON 于 A 、 B 两点，则P1 PA  P1 ， P2 PB  P2 ，
由题意知，当 P1 ， A ， B ， P2 四点共线时， PAB 的周长最小，
 PP1  OM ， PP2  ON ，
PCO  PDO  90 ，
P1 PP2  360  PCO  PDO  MON  140 ，
P1 PA  P2 PB  P1  P2  180  P1 PP2  40 ，
APB  P1 PP2  (P1 PA  P2 PB)  100 ，
故选： C ．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.
11．（3 分）如图， ACD 是ABC 的外角，若ACD  120 ， B  70 ，则A  50 ．
【解答】解：ACD 是ABC 的外角， ACD  120 ， B  70 ，
A  ACD  B  50 ． 故答案为： 50 ．
12．（3 分）如图，已知ABC 中， BC  4 ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，若 AC  6 ，则BCD 的周长
 10．
【解答】解： DE 是线段 AB 的垂直平分线，
 DA  DB ，
BCD 的周长
 BC  CD  DB
 BC  CD  DA
 BC  AC
 10 ，
故答案为：10．
13．（3 分）若正 n 边形的一个外角为72 ，则 n  5．
【解答】解：正 n 边形的一个外角为72 ，
 n  360  72  5 ，
故答案为：5．
14．（3 分）若 xm  5 ， xn  1 ，则 x2mn 25．
44
【解答】解： xm  5 ， xn  1 ，
4
 x2mn
 x2m  xn
 (xm )2  xn
 52  1
4
 25 ．
4
故答案为： 25 ．
4
15．（3 分）如图， ABC 中， ACB  90 ， CD 是高，若A  30 ， BD  1，则 AD  3．
【解答】解：ABC 中， ACB  90 ， A  30 ，
B  60 ，
 CD 是高，
CDB  90 ，
BCD  30 ，
 BD  1 ，
 BC  2BD  2 ，
在ACB 中， ACB  90 ， A  30 ，
 AB  2BC  4 ，
 AD  AB  BD  4  1  3 ， 故答案为：3．
16．（3 分）如图，已知MON  30 ，点 A1 ， A2 ， A3 ，在射线ON 上，点 B1 ， B2 ， B3 ， 在射线OM
上，△ A B A ，△ A B A ，△ A B A ， 均为等边三角形，若OA  2 ，则△ A B A的周长为 3  2n1 ．
1 1 2
2 2 3
3 3 4
2n n n1
【解答】解：△ A1B1 A2 是等边三角形，
 A1 B1  A2 B1 ，
MON  30 ，
 OA2  2 ，
OA1  A1 B1  1，
 A2 B1  1 ，
△ A2 B2 A3 、△ A3 B3 A4 是等边三角形，
 A1 B1 / / A2 B2 / / A3 B3 ， B1 A2 / / B2 A3 ，
 A2 B2  2B1 A2 ， B3 A3  2B2 A3 ，
 A B  4B A
 22 ，
3 31 2
A B  8B A  23 ，
4 41 2
A B  16B A  24 ，
5 51 2
n1
以此类推△ An Bn An1 的边长为 2，
△ An Bn An1
的周长为： 3  2n1 ．
故答案为： 3  2n1 ．
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分.
17．（4 分）计算： x2  x4  (2x3 )2 ．
【解答】解： x2  x4  (2x3 )2
 x6  4x6
 5x6 ．
18．（4 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD / / BC ， B  D ，连接 AC ．求证： ABC  CDA ．
【解答】证明： AD / / BC ，
DAC  BCA ， 在ABC 和CDA 中，
B  D

BCA  DAC ，

 AC  CA
ABC  CDA(AAS ) ．
19．（6 分）已知：如图，在△ ABC 中， AB  AC ， B  2A ．
求作 AC 边的垂直平分线，交 AB 于点 D 、交 AC 于点 E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
在（1）的条件下，连接CD ，求A 的度数．
【解答】解：（1）如图所示，直线 DE 就是所要求作的，
（2）如图，连接CD ，
 AB  AC ，
B  ACB ，
B  2A ，
B  ACB  2A ，
B  ACB  A  180 ，
 2A  2A  A  180 ，
A  36 ，
由（1）作图可知 DE 是 AC 边的垂直平分线，
CD  AD ，
ACD  A  36 ．
20．（6 分）如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，DE  AB ，DF  AC ，垂足分别是 E ，F ，BE  CF ．求证： AD 是ABC 的角平分线．
【解答】证明： DE  AB ， DF  AC ，
 RtBDE 和RtCDF 是直角三角形．
BD  DC

BE  CF ，
RtBDE  RtCDF(HL) ，
 DE  DF ，
 DE  AB ， DF  AC ， AD  AD ，
RtADE  RtADF(HL) ，
DAE  DAF ，
 AD 是ABC 的角平分线．
21．（8 分）如图， AD 与 BC 相交于点O ， OA  OC ， A  C ， BE  DE ．求证： OE 垂直平分 BD ．
【解答】证明：在AOB 与COD 中，

A  C
OA  OC

AOB  COD
AOB  COD(ASA) ，
OB  OD ，
点O 在线段 BD 的垂直平分线上，
 BE  DE ，
点 E 在线段 BD 的垂直平分线上，
OE 垂直平分 BD ．
22．（10 分）如图，在单位长度为 1 的方格纸中画有一个ABC ．
画出ABC 关于 y 轴对称的△ ABC ；
写出点 A 、 B 的坐标；
求ABC 的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ ABC 即为所求．
（2）由图可知点 A 的坐标为(3, 2) ，点 B 的坐标为(4, 3) ；
（3） ABC 的面积为3  5  1  2  3  1 1 5  1  2  3  13 ．
2222
23．（10 分）阅读材料：下面是底数大于 1 的数比较大小的两种方法：
方法一：比较 2a ， 2b 的大小：当 a  b 时， 2a  2b ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
方法二：比较340 和 260 的大小：因为340  (32 )20  920 ， 260  (23 )20  820 ， 9  8 ，所以340  260 ． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）比较大小： 2324 ， 2643 （直接填写“  ”或“  ”或“  ” ) ；
（2）已知 x  320 ， y  915 ，试比较 x ， y 的大小；
（3）已知 a  344 ， b  433 ， c  522 ，试比较 a ， b ， c 的大小．
【解答】解：（1） 23  24 ，
43  (22 )3  26 ， 6  6 ，所以 26  26 ． 故答案为：  ，  ；
（2）915  (32 )15  330 ， 30  20 ，
320  330 ，
320  915 ，
 x  y ；
（3） a  344  (34 )11  8111 ， b  433  (43 )11  6411 ， c  522  (52 )11  2511 ，
81  64  25 ，
8111  6411  2511 ，
 a  b  c ．
24．（12 分）如图，已知△ ABC 中， AB  AC ， CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D ，使 BD  AB ．
若△ ACE 的面积为 2，则△ ACD 的面积为 8；（直接写出答案）
若 AC  4 ， BC  3 ，求△ ACE 和△ BCE 的周长之差；
证明： CD  2CE ．
【解答】（1）解： CE 是 AB 边上的中线，
△ ACE 的面积 △ BCE 的面积 2 ，
 BD  AB ，
△ ABC 的面积 △ DBC 的面积 4 ，
△ ACD 的面积 2 △ ABC 的面积 8 ， 故答案为：8；
解： CE 是 AB 边上的中线，
 AE  BE ，
 AC  4 ， BC  3 ，
△ ACE 和△ BCE 的周长之差 AC  CE  AE  (BC  CE  BE )  AC  BC  1 ；
证明：取 AC 的中点 F ，连接 BF ，
 AB  AC ，点 E ， F 分别是 AB ， AC 的中点，
 AE  AF ，
在△ ABF 和△ ACE 中，
 AF  AE

A  A ，

 AB  AC
△ ABF  △ ACE (SAS ) ，
 BF  CE ，
 BD  AB ， AF  CF ，
 DC  2BF ，
 DC  2CE ．
25．（12 分） ABC 是等边三角形，点 D 是 AC 边上动点， CBD  (0   30) ，把ABD 沿 BD 对折，得到△ ABD ．
（1）如图 1，若 15 ，则CBA  30 ．
（2）如图 2，点 P 在 BD 延长线上，且DAP  DBC  ．
①试探究 AP ， BP ， CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若 BP  10 ， CP  m ，求CA 的长．（用含 m 的式子表示）
【解答】解：（1） ABC 是等边三角形，
ABC  60 ，
CBD  ，
ABD  ABD  ABC ，
CBA  ABD  ABC  2 60  2，
 15 ，
CBA  60  2 15  30 ， 故答案为： 30 ；
（2）① BP  AP  CP ，理由如下：
连接CP ，在 BP 上取一点 P ，使 BP  AP ，
ABC 是等边三角形，
ACB  60 ， BC  AC ，
DAP  DBC  ，
△ BPC  APC (SAS ) ，
CP  CP ， BCP  ACP ，
PCP  ACP  ACP  BCP  ACP  ACB  60 ，
CP  CP ，
CPP 是等边三角形，
CPB  60 ， PP  CP ，
 BP  BP  PP  AP  CP ， 即 BP  AP  CP ；
②如图，
由①知， BPC  60 ，
BCP  180  BPC  PBC  180  60  120 ， 由（1）知， CBA  60  2，
由折叠知， BA  BA ，
 BA  BC ，
 BA  BC ，
BCA  1 (180  CBA)  1 [180  (60  2)]  60 ，
22
BCP  BCA  120  60  180 ，
点 A 、C 、 P 在同一直线上， 即 PA  PC  CA ，
由折叠知， BA  BA ， ADB  ADB ，
180  ADB  180  ADB ，
ADP  ADP ，
 DP  DP ，
ADP  △ ADP(SAS ) ，
 AP  AP ，
由①知， BP  AP  CP ，
 BP  10 ， CP  m ，
 AP  BP  CP  10  m ，
 AP  AP  10  m ，
CA  AP  CP  10  m  m  10  2m ．