2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级上学期期中数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

1．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面 4 个汉字中，不能看作是轴对称图形的是()
A．迎B．二C．十D．大
2．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是()
A． SSSB． SASC． ASAD． AAS
3．（3 分）如图，窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，其所运用的几何原理是()
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形具有稳定性
4．（3 分）如图，若ABC  DEF ，四个点 B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC  7 ，EC  5 ，则CF 的长是()
A．5B．3C．2D．7
5．（3 分）一个多边形的内角和与外角和之比为3 :1 ，则这个多边形的边数是()
A．7B．8C．9D．10
6．（3 分）如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DE  AB 于 E ，DF  AC 于 F ，ABC
的面积是30cm2 ， AB  13cm ， AC  7cm ，则 DE 的长()
3cmB． 4cmC． 5cmD． 6cm
7．（3 分）如图，已知A  60 ， B  40 ， C  30 ，则D  E 等于()
A． 30B． 40C． 50D． 60
8．（3 分）如图，在 ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，将ADE 沿 DE 折叠至FDE
位置，点 A 的对应点为 F ．若A  15 ， BDF  120 ，则DEF 的度数为()
A．130B．135C．125D．120
9．（3 分）如图， ABC 的三边长均为整数，且周长为 22， AM 是边 BC 上的中线， ABM
的周长比ACM 的周长大 2，则 BC 长的可能值有() 个．
A．4B．5C．6D．7
10．（3 分）已知：如图， ABC 中， BD 为ABC 的角平分线，且 BD  BC ， E 为 BD 延长线上的一点， BE  BA ，过 E 作 EF  AB ， F 为垂足．下列结论：① ABD  EBC ；②
BDC  AED ；③ AE  AD  EC ；④ S四边形ABCE  BF  EF ．其中正确的个数是()
个B．2 个C．3 个D．4 个二.填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．（3 分）如图，已知CDE  90 ，CAD  90 ，BE  AD 于 B ，且 DC  DE ，若 BE  7 ，
AB  4 ，则 BD 的长为．
12．（3 分）等腰三角形 ABC 中， AB  5 ， BC  2 ，则 AC 的长为 ．
13．（3 分）如图，小明从 A 点出发，前进6m 到点 B 处后向右转 20 ，再前进6m 到点C 处后又向右转 20 ， ，这样一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，一共走了m ．
ABC
14．（3 分）如图，在 ABC 中，已知 D ，E ，F 分别为 BC ，AD ，CE 的中点，且 S 8cm2 ，则图中阴影部分BEF 的面积等于cm2 ．
15．（3 分）如图，线段 AB 、BC 的垂直平分线l1 、l2 相交于点O ，若1  36 ，则AOC 的
度数是．
16．（3 分）如图， ABC 中， ACB  90 ， AC  6cm ， BC  8cm ，直线l 经过点 C 且与边 AB 相交．动点 P 从点 A 出发沿 A  C  B 路径向终点 B 运动；动点 Q 从点 B 出发沿 B  C  A 路径向终点 A 运动．点 P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s ，两点同时出发并开始计时，当点 P 到达终点 B 时计时结束．在某时刻分别过点 P 和点Q 作 PE  l 于点 E ， QF  l 于点 F ，设运动时间为t 秒，则当t 秒时， PEC 与QFC 全等．
三.解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）已知，如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E ，DE  FE ，FC / / AB ，求证： AD  CF ．
18．（4 分）如图，两条公路OA ， OB 相交于点O ，在AOB 内部有两个村庄C ， D ．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在AOB 内部再启动一个方舱式接种点 P ，要求同时满足：
到两条公路OA ， OB 的距离相等．
到两村庄C ， D 的距离相等．
请你用直尺和圆规作出接种点 P 的位置（保留作图痕迹）．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为 A(1,1) 、B(1, 5) 、C(4, 4) ．
作出ABC 关于 y 轴对称的图形△ A1 B1C1 ，并写出顶点 B1 的坐标．
求△ A1B1C1 的面积．
20．（6 分）如图，ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，CAB  50 ，
C  60 ，求DAE 和BOA 的度数．
21．（8 分）如图在四边形 MNCB 中， BD 平分MBC ，且与NCE 的角平分线交于点 D ，若BMN  130 ， CNM  100 ，求D 的度数．
22．（10 分）如图，在ABC 中，A  60 ．BE ，CF 交于点 P ，且分别平分ABC ，ACB ．
求BPC 的度数；
连接 EF ，求证： EFP 是等腰三角形．
23．（10 分）等边ABC ， D 为ABC 外一点， BDC  120 ， BD  DC ， MDN  60 ，射线 DM 与直线 AB 相交于点 M ，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N ．
当点 M 、 N 在边 AB 、 AC 上，且 DM  DN 时，猜想 BM 、 NC 、MN 之间的数量关系，并且请证明．
当点 M 、 N 在边 AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系．
24．（12 分）如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC  90 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上的点， AD  AE ， AF  BE 交 BC 于点 F ，过点 F 作 FG  CD 交 BE 的延长线于点G ， 交 AC 于点 M ．
求证： ADC  AEB ；
判断EGM 是什么三角形，并证明你的结论；
判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论．
25 ．（ 12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知 A(0, a) 、 B(b, 0) 且 a 、 b 满足
a  b  4 | a  2b  2 | 0 ．
求证： OAB  OBA ；
如图 1，若 BE  AE ，求AEO 的度数；
如图 2，若 D 是 AO 的中点，DE / / BO ，F 在 AB 的延长线上，EOF  45 ，连接 EF ，试探究OE 和 EF 的数量和位置关系．
2022-2023 学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面 4 个汉字中，不能看作是轴对称图形的是()
A．迎B．二C．十D．大
【解答】解： B ， C ， D 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选： A ．
2．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是()
A． SSSB． SASC． ASAD． AAS
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定 理作出完全一样的三角形．
故选： C ．
3．（3 分）如图，窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，其所运用的几何原理是()
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形具有稳定性
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选： D ．
4．（3 分）如图，若ABC  DEF ，四个点 B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC  7 ，EC  5 ，则CF 的长是()
A．5B．3C．2D．7
【解答】解：ABC  DEF ，
 BC  EF ，
 BC  7 ，
 EF  7 ，
 EC  5 ，
 CF  EF  EC  7  5  2 ． 故选： C ．
5．（3 分）一个多边形的内角和与外角和之比为3 :1 ，则这个多边形的边数是()
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：设多边形有 n 条边，由题意得：
180(n  2)  360  3 ， 解得： n  8 ，
故选： B ．
6．（3 分）如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DE  AB 于 E ，DF  AC 于 F ，ABC
的面积是30cm2 ， AB  13cm ， AC  7cm ，则 DE 的长()
3cmB． 4cmC． 5cmD． 6cm
【解答】解： AD 为BAC 的平分线， DE  AB ， DF  AC ，
 DE  DF ，
 S 1  AB  DE  1  AC  DF  30(cm2 ) ，即 1 13  DE  1  7  DF  30 ，
ABC2222
解得 DE  DF  3cm ， 故选： A ．
7．（3 分）如图，已知A  60 ， B  40 ， C  30 ，则D  E 等于()
A． 30B． 40C． 50D． 60
【解答】解：连接 BC ，如图所示，
A  60 ， ABE  40 ， ACD  30 ，
1  2  180  A  ABE  ACD  180  60  40  30  50 ，
D  E  1 2 ，
D  E  50 ， 故选： C ．
8．（3 分）如图，在 ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，将ADE 沿 DE 折叠至FDE
位置，点 A 的对应点为 F ．若A  15 ， BDF  120 ，则DEF 的度数为()
A．130B．135C．125D．120
【解答】解：由题意得， ADE  FDE ， AED  FED ，
BDF  120 ，
ADF  180  120  60 ，
ADE  1 ADF  30 ，
2
DEA  180  A  ADE  180  15  30  135 ，
ADE 沿 DE 折叠至FDE 位置，
DEF  DEA  135 ， 故选： B ．
9．（3 分）如图， ABC 的三边长均为整数，且周长为 22， AM 是边 BC 上的中线， ABM
的周长比ACM 的周长大 2，则 BC 长的可能值有() 个．
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：ABC 的周长为 22， ABM 的周长比ACM 的周长大 2，
 2  BC  22  BC ， 解得 2  BC  11 ，
又ABC 的三边长均为整数， ABM 的周长比ACM 的周长大 2，
 AC  22  BC  2 为整数，
2
 BC 边长为偶数，
 BC  4 ，6，8，10，
即 BC 的长可能值有 4 个， 故选： A ．
10．（3 分）已知：如图， ABC 中， BD 为ABC 的角平分线，且 BD  BC ， E 为 BD 延长线上的一点， BE  BA ，过 E 作 EF  AB ， F 为垂足．下列结论：① ABD  EBC ；②
BDC  AED ；③ AE  AD  EC ；④ S四边形ABCE  BF  EF ．其中正确的个数是()
个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：① BD 为ABC 的角平分线，
ABD  CBD ， 在ABD 和EBC 中，
BE  BA

ABD  CBD，

BD  BC
ABD  EBC (SAS ) ， 故①选项正确；
② BE  BA ，
BAE  BEA  1 (180  ABE) ，
2
 BD  BC ，
BDC  BCD  1 (180  CBD) ，
2
 BD 为ABC 的角平分线，
ABE  CBD ，
BDC  BEA ， 即BDC  AED ， 故②选项正确；
③BDC  AED ， BDC  ADE ，
AED  ADE ，
 AD  AE ，
ABD  EBC ，
 AD  EC ，
 AE  AD  EC ， 故③选项正确；
④过点 E 作 EG  BC 于点G ，如图所示：
 E 是ABC 的角平分线 BD 上的点， EF  AB ，
 EF  EG ，
BFE  BGE  90 ， 在RtBEG 和RtBEF 中，
EG  EF

BE  BE，
RtBEG  RtBEF(HL) ，
 BG  BF ， SBEF  SBEG ， 在RtCEG 和RtAFE 中，
EG  EF

 AE  EC，
RtCEG  RtAEF(HL) ，
 SAEF  SCEG ，
 S四边形ABCE
 2S BEF  2  1 BF  EF  BF  EF ，
2
故④选项正确，
综上所述，正确的选项有 4 个，
故选： D ．
二.填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．（3 分）如图，已知CDE  90 ，CAD  90 ，BE  AD 于 B ，且 DC  DE ，若 BE  7 ，
AB  4 ，则 BD 的长为 3．
【解答】解： BE  AD ，
EBD  CAD  90 ，
BDE  ADC  90 ， BDE  E  90 ，
E  ADC ，
在ACD 和BDE 中，
CAD  EBD

ADC  E，

CD  DE
ACD  BDE (AAS ) ，
 BE  AD ，
 BD  AD  AB  BE  AB  7  4  3 ， 故答案为：3．
12．（3 分）等腰三角形 ABC 中， AB  5 ， BC  2 ，则 AC 的长为 5．
【解答】解：根据题意得5  2  AC  5  2 ， 即3  AC  7 ，
因为三角形 ABC 是等腰三角形， 所以 AC  5 ．
故答案为：5．
13．（3 分）如图，小明从 A 点出发，前进6m 到点 B 处后向右转 20 ，再前进6m 到点C 处后又向右转 20 ， ，这样一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，一共走了 108m ．
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点 A 时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是360 ，且每一个外角为 20 ，
360  20  18 ，
所以它是一个正 18 边形，
因此所走的路程为18  6  108(m) ， 故答案为：108．
ABC
14．（3 分）如图，在 ABC 中，已知 D ，E ，F 分别为 BC ，AD ，CE 的中点，且 S 8cm2 ，
则图中阴影部分BEF 的面积等于 2cm2 ．
【解答】解：点 E 是 AD 的中点，
 SABE
 1 S
2
ABD
， SACE
 1 S
2
ADC ，
 SABE
SACE
 1 S
2
ABC
 1  8  4 ，
2
 SBCE
 1 S
2
ABC
 4 ，
点 F 是CE 的中点，
 SBEF
 1 S
2
BCE
 1  4  2(cm2 ) ．
2
故答案为：2．
15．（3 分）如图，线段 AB 、BC 的垂直平分线l1 、l2 相交于点O ，若1  36 ，则AOC 的度数是72 ．
【解答】解：如图：连接OB ，
1  36 ，
DOE  180  1  144 ，
DOB  BOE  144 ，
线段 AB 、 BC 的垂直平分线l1 、l2 相交于点O ，
OB  OA  OC ，
 OD  AB ， OE  BC ，
AOD  BOD ， BOE  COE ，
AOD  COE  144 ，
AOC  360  DOE  AOD  COE  72 ， 故答案为： 72 ．
16．（3 分）如图， ABC 中， ACB  90 ， AC  6cm ， BC  8cm ，直线l 经过点 C 且与边 AB 相交．动点 P 从点 A 出发沿 A  C  B 路径向终点 B 运动；动点 Q 从点 B 出发沿 B  C  A 路径向终点 A 运动．点 P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s ，两点同时出发并开始计时，当点 P 到达终点 B 时计时结束．在某时刻分别过点 P 和点Q 作 PE  l 于点 E ，
QF  l 于点 F ，设运动时间为t 秒，则当t  2 或14 或 12 秒时， PEC 与QFC 全等．
3
【解答】解：由题意得， AP  t ， BQ  2t ，
 AC  6cm ， BC  8cm ，
 CP  6  t ， CQ  8  2t ，
①如图 1， Q 在 BC 上，点 P 在 AC 上时，作 PE  l ， QF  l ，
PEC  CFQ  ACB  90 ，
CPE  PCE  PCE  FCQ  90 ，
CPE  FCQ ， 当PEC  CFQ 时， 则 PC  CQ ，
即6  t  8  2t ， 解得： t  2 ；
②如图 2，当点 P 与点Q 重合时，
当PEC  QFC ， 则 PC  CQ ，
6  t  2t  8 ．
解得： t  14 ；
3
③如图 3，当点Q 与 A 重合时， QCF  CQF  QCF  PCE  90 ，
CQF  PCE ， 当PEC  CFQ ， 则 PC  CQ ，
即t  6  6 ， 解得： t  12 ；
当综上所述：当t  2 秒或14 秒或 12 秒时， PEC 与QFC 全等，
3
故答案为：2 或14 或 12．
3
三.解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）已知，如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E ，DE  FE ，FC / / AB ，求证： AD  CF ．
【解答】证明： FC / / AB ，
A  ECF ， ADE  F ，
A  ECF

在ADE 和CFE 中， ADE  F ，

DE  FE
ADE  CFE (AAS ) ，
 AD  CF ．
18．（4 分）如图，两条公路OA ， OB 相交于点O ，在AOB 内部有两个村庄C ， D ．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在AOB 内部再启动一个方舱式接种点 P ，要求同时满足：
到两条公路OA ， OB 的距离相等．
到两村庄C ， D 的距离相等．
请你用直尺和圆规作出接种点 P 的位置（保留作图痕迹）．
【解答】解：如图，点 P 即为所求．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为 A(1,1) 、B(1, 5) 、C(4, 4) ．
作出ABC 关于 y 轴对称的图形△ A1 B1C1 ，并写出顶点 B1 的坐标．
求△ A1B1C1 的面积．
【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C1 即为所求，点 B1 (1, 5) ；
（2） S 4  5  1  2  4  1 1 3  1  3  5  7 ．
 A1B1C1
222
20．（6 分）如图，ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，CAB  50 ，
C  60 ，求DAE 和BOA 的度数．
【解答】解：CAB  50 ， C  60
ABC  180  50  60  70 ，
又 AD 是高，
ADC  90 ，
DAC  180  90  C  30 ，
 AE 、 BF 是角平分线，
CBF  ABF  35 ， EAF  25 ，
DAE  DAC  EAF  5 ，
AFB  C  CBF  60  35  95 ，
BOA  EAF  AFB  25  95  120 ，
DAC  30 ， BOA  120 ． 故DAE  5 ， BOA  120 ．
21．（8 分）如图在四边形 MNCB 中， BD 平分MBC ，且与NCE 的角平分线交于点 D ，若BMN  130 ， CNM  100 ，求D 的度数．
【解答】解：如图，延长 BM ， CN 交于点 A ．
BMN  ANM  A ， CNM  AMN  A ，
A  BMN  CNM  180  50 ，
 BD 平分ABC ， CD 平分ACE ，
 DBC  1 ABC ， DCE  1 ACE ，
22
ACE  ABC  A ， DCE  DBC  D ，
 DCE  1 ACE  1 (ABC  A) ，即DBC  D  1 (ABC  A) ，
222
 D  1 A ，
2
D  25 ．
22．（10 分）如图，在ABC 中，A  60 ．BE ，CF 交于点 P ，且分别平分ABC ，ACB ．
求BPC 的度数；
连接 EF ，求证： EFP 是等腰三角形．
【解答】（1）解： A  60 ，
ABC  ACB  180  A  120 ，
 BE 平分ABC ， CF 平分ACB ，
ABE  CBE  1 ABC ， BCF  ACF  1 ACB ，
22
CBE  BCF  1 ABC  1 ACB  1 120  60 ，
222
BPC  180  (CBE  BCF )  180  60  120 ；
（2）证明：在 BC 上截取 BQ  BF ，连接 PQ ，
在FBP 和QBP 中，
BP  BP

FBP  QBP ，

BF  BQ
FBP  QBP (SAS ) ，
 FP  QP ， BFP  BQP ，
A  60 ， FPE  BPC  120 ，
AFP  AEP  360  60  120  180 ，
BFP  CEP  180 ，
CQP  BQP  180 ，
CEP  CQP ， 在CQP 和CEP 中，
QCP  ECP

CQP  CEP ，

CP  CP
CQP  CEP (AAS ) ，
 EF  QP ，
 FP  QP ，
 FP  EP ，
EFP 是等腰三角形．
23．（10 分）等边ABC ， D 为ABC 外一点， BDC  120 ， BD  DC ， MDN  60 ，射线 DM 与直线 AB 相交于点 M ，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N ．
当点 M 、 N 在边 AB 、 AC 上，且 DM  DN 时，猜想 BM 、 NC 、MN 之间的数量关系，并且请证明．
当点 M 、 N 在边 AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系．
【解答】解：（1） BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系： BM  NC  MN ．证明：在CN 的反向延长线上截取CM1  BM ，连接 DM1 ．
ABC 是等边三角形，
ABC  ACB  60 ，
BDC  120 ， BD  DC ，
DBC  DCB  30 ，
MBD  M1CD  90 ， 在DBM 和DCM1 中，
BD  CD
MBD  M CD ，
1

1
BM  CM
DBM  DCM1(SAS ) ，
 DM  DM1 ， BDM  CDM1 ，
 MDN  60 ， BDC  120 ，
M1 DN  MDB  CDN  CDM1  CDN  MDN  60 ， 在MDN 和△ M1DN 中，
DN  DN
MDN  M DN ，
1

1
DM  DM
MDN  △ M1DN (SAS ) ，
 MN  M1 N  M1C  NC  BM  NC ；
（2）如图： NC  BM  MN ．
证明：在CN 上截取CM1  BM ，连接 DM1 ．
同理DBM  DCM1(SAS ) ，
 DM  DM1 ，
同（1）可得MDN  △ M1DN (SAS ) ，
 MN  M1 N ，
 NC  BM  MN ．
24．（12 分）如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC  90 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上的点， AD  AE ， AF  BE 交 BC 于点 F ，过点 F 作 FG  CD 交 BE 的延长线于点G ， 交 AC 于点 M ．
求证： ADC  AEB ；
判断EGM 是什么三角形，并证明你的结论；
判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论．
【解答】（1）证明：等腰直角三角形 ABC 中， BAC  90 ，
 AC  AB ， ACB  ABC  45 ， 在ADC 和AEB 中
 AC  AB

CAD  BAE

 AD  AE
ADC  AEB(SAS ) ，
EGM 为等腰三角形； 理由：ADC  AEB ，
1  3 ，
BAC  90 ，
3  2  90 ， 1  4  90 ，
4  3  90
 FG  CD ，
CMF  4  90 ，
3  CMF ，
GEM  GME ，
 EG  MG ， EGM 为等腰三角形．
线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系为 BG  AF  FG ．
理由：如图所示：过点 B 作 AB 的垂线，交GF 的延长线于点 N ，
 BN  AB ， ABC  45 ，
FBN  45  FBA ．
 FG  CD ，
BFN  CFM  90  DCB ，
 AF  BE ，
BFA  90  EBC ， 5  2  90 ， 由（1）可得DCB  EBC ，
BFN  BFA ， 在BFN 和BFA 中
FBN  FBA

BF  BF

BFN  BFA
BFN  BFA(ASA) ，
 NF  AF ， N  5 ， 又GBN  2  90 ，
GBN  5  N ，
 BG  NG ，
又 NG  NF  FG ，
 BG  AF  FG ．
25 ．（ 12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知 A(0, a) 、 B(b, 0) 且 a 、 b 满足
a  b  4 | a  2b  2 | 0 ．
求证： OAB  OBA ；
如图 1，若 BE  AE ，求AEO 的度数；
如图 2，若 D 是 AO 的中点，DE / / BO ，F 在 AB 的延长线上，EOF  45 ，连接 EF ，试探究OE 和 EF 的数量和位置关系．
【解答】解：（1） a 、b 满足
a  2b  2  0
 a  b  4  0


 a  2 ，
b  2
 A(0, 2) 、 B(2, 0) ，
 OA  OB ，
AOB 为等腰直角三角形
OAB  OBA  45 ，
a  b  4 | a  2b  2 | 0 ．
如图 1，过点O 作OF  OE 交 AE 于 F ，
AOF  BOF  90 ， BOE  BOF  90
AOF  BOE ，
 BE  AE ，
AEB  90
又AOB  90
OBE  OAF
在OBE 和OAF 中，
OBE  OAF

OB  OA

BOE  AOF
OBE  OAF (ASA)
 OE  OF
OEF 为等腰直角三角形
AEO  45
过点 F 作 FG  OF 交OE 的延长线于G ，过点 F 作 FH  FB 交 x 轴于 H ，延长 DE 交
HG 于 I ，
EOF  45 ， HBF  ABO  45 ，
OFG 、 HFB 为等腰直角三角形，
HFG  GFB  90 ， BFO  GFB  90
HFG  BFO ， 在HFG 和BFO 中，
HF  FB

HFG  BFO

FG  FO
HFG  BFO (SAS )
 GH  OB  OA
又GHF  OBF  135
GHO  90
 HI  OD  IG
在EIG 和EDO 中，
EIG  EDO

IEG  DEO

IG  DO
EIG  EDO(AAS )
 EG  EO
 FE  EO 且 FE  EO （三线合一）．