2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，不能看作是轴对称图形的是(    )

A. 迎 B. 二 C. 十 D. 大

2.    如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是(    )

A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 三角形具有稳定性

4.    如图，若≌，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    一个正多边的内角和是外角和的倍，这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，已知，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大，则长的可能值有个．(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知：如图，中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：≌；；；其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如图，已知，，于，且，若，，则的长为______．

12. 等腰三角形中，，，则的长为______．
13. 如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了______
14. 如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于______．

15. 如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是______．

16. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当______秒时，与全等．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知，如图，是的边上一点，交于点，，，
    求证：．

18. 本小题分
    如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：
    到两条公路，的距离相等．
    到两村庄，的距离相等．
    请你用直尺和圆规作出接种点的位置保留作图痕迹．

19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．
    作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
    求的面积．

20. 本小题分
    如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

21. 本小题分
    如图在四边形中，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．

22. 本小题分
    如图，在中，，交于点，且分别平分，．
    求的度数；
    连接，求证：是等腰三角形．

23. 本小题分
    等边，为外一点，，，，射线与直线相交于点，射线与直线相交于点．
    当点、在边、上，且时，猜想、、之间的数量关系，并且请证明．
    当点、在边、的延长线上时，请画出图形，并写出、、之间的数量关系．

24. 本小题分
    如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．
    求证：≌；
    判断是什么三角形，并证明你的结论；
    判断线段、与的数量关系并证明你的结论．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知、且、满足．
    求证：；
    如图，若，求的度数；
    如图，若是的中点，，在的延长线上，，连接，试探究和的数量和位置关系．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：．
根据点、、组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
，
．
故选：．
根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为设多边形有条边，则内角和为，再根据内角和等于外角和倍可得方程，再解方程即可．
【解答】
解：设多边形有条边，由题意得：
，
解得：，
故选：  

6.【答案】 

【解析】解：为的平分线，，，
，
，即，
解得，
故选：．
根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如右图所示，
，，，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和，可以得到和的和，再根据三角形内角和，可以得到和的关系，然后即可求得的度数．
本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
，
，
，
，
沿折叠至位置，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，由邻补角定义可解得，继而解得，再由三角形内角和解得，最后由折叠的性质解答即可．
本题考查三角形的内角和、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：的周长为，的周长比的周长大，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大，
为整数，
边长为偶数，
，，，，
故选：．
依据的周长为，的周长比的周长大，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，，，．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
 

10.【答案】 

【解析】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
故选项正确；
，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
即，
故选项正确；
，，
，
，
≌，
，
，
故选项正确；
过点作于点，如图所示：

是的角平分线上的点，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
故选项正确，
综上所述，正确的选项有个，
故选：．
根据由可证≌，可判断选项；由三角形的内角和定理以及角平分线的定义可判断选项；根据全等三角形的性质可判断选项；通过证明≌，≌，可得，，可判断选项．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，本题综合性较强．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
利用证明≌，得，从而解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等等知识，证明≌是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
即，
因为三角形是等腰三角形，
所以．
故答案为：．
根据三角形三边的关系得到，然后找出此范围内的奇数即可．
本题考查了三角形三边的关系：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，当她第一次回到出发点时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是，且每一个外角为，
，
所以它是一个正边形，
因此所走的路程为，
故答案为：．
根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，

故答案为：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

，
，
，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
连接，先利用平角定义求出，从而可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，进而可得，最后利用周角定义进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：由题意得，，，
，，
，，
如图，在上，点在上时，作，，
，
，
，
当≌时，
则，
即，
解得：；
如图，当点与点重合时，
当≌，
则，
．
解得：；
如图，当点与重合时，，
，
当≌，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或秒时，与全等，
故答案为：或或．
点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，，
在和中，，
≌，
． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等可得，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，比较简单，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：如图，即为所求，点；


． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，
，
又是高，
，
，
、是角平分线，
，，
，
，
，
故，． 

【解析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形外角性质求出．
 

21.【答案】解：如图，延长，交于点．

，，
，
平分，平分，
，，
，，
，即，
，
． 

【解析】根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可．
此题考查三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用，解此题的关键是求出．
 

22.【答案】解：，
，
平分，平分，
，，
，
；

证明：在上截取，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，，求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可；
在上截取，连接，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，能求出的度数是解的关键，能正确作出辅助线是解的关键．
 

23.【答案】解：、、之间的数量关系：．
证明：在的反向延长线上截取，连接．

是等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图：．

证明：在上截取，连接．
同理≌，
，
同可得≌，
，
． 

【解析】在的延长线上截取，连接可证≌，即可得，易证得，则可证得≌，然后由全等三角形的性质，即可得结论；
首先在上截取，连接，可证≌，即可得，然后证得，易证得≌，则可得．
此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
 

24.【答案】证明：等腰直角三角形中，，
，，
在和中

≌，

为等腰三角形；
理由：≌，
，
，
，，

，
，
，
，
，为等腰三角形．

线段、与的数量关系为．
理由：如图所示：过点作的垂线，交的延长线于点，
，，
．
，
，
，
，，
由可得，
，
在和中

≌，
，，
又，
，
，
又，
． 

【解析】首先得出，再利用，得出≌即可；
利用≌，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；
先大致观察三者的关系，过点作的垂线，交的延长线于点，利用的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系．
本题考查了全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行．
 

25.【答案】解：、满足．

，
、，
，
为等腰直角三角形
，
如图，过点作交于，

，
，
，

又

在和中，
≌

为等腰直角三角形

过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，

，，
、为等腰直角三角形，
，
，
在和中，
≌
，
为等腰直角三角形，
又

在和中，
≌

且三线合一． 

【解析】本题考查了非负数的性质、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段．
根据非负数的性质得到，解得，确定、，得到，所以为等腰直角三角形，即可解答；
如图，过点作交于，利用已知条件证明≌，得到，即为等腰直角三角形，即可解答；
过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，利用已知条件证明≌，得到，，进而得到为等腰直角三角形，再证明≌得到，进而且三线合一．