山东省聊城市茌平区茌山中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市茌平区茌山中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 关于的方程，下列说法错误的是（ ）
A. 二次项系数为1B. 一次项系数为
C. 常数项为0D. 它是一元二次方程
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得．
【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是，
则说法错误的是C，
故选：C．
2. 如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可．
【详解】解：∵，
，
，
解得：，
故选：A．
4. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ）
A. 6B. 7C. 14D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的六个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
故选：D．
5. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）

A 3秒或4.8秒B. 3秒
C. 4.5秒D. 4.5秒或4.8秒
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒，
①若，则，
∴，
解得：；
②若，则，
∴，
解得：．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A
6. 如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（ ）条．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，由此作图即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
如图，过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线，
故选：C．
7. 如图，，添加一个条件能判定的是（ ）
①；
②；
③；
④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意；
添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意；
添加，无法判定，故③不符合题意；
添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意；
故选：B．
8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ）
A. 有两个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可．
详解】解：，
，
，
，
，
原方程有两个实数根，
故选A．
9. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．
【详解】解：设共有x个队参赛，
根据题意，得．
故选：D．
10. 如图，、是的高，两条高交于点，，过作，交延长线于点，连接，则下列说法：①；②；③当时，；④当，时，；其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质．
利用相似三角形的判定定理证得，利用相似三角形的性质可得①的结论正确；由，利用相似三角形的对应角相等可得②的结论正确；利用相似三角形的性质和等角的余角相等，可得③的结论正确；利用等高的三角形的面积比等于底的比，可得，利用①的比例式求得的长度，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得的长度，通过计算得出④的结论不正确．
【详解】解：∵、是的高，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴①的结论正确；
∵，
∴．
∴②的结论正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴③的结论正确；
∵，
∴，
由①知：，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴④的结论不正确．
故选：D．
二、填空题
11. 已知是一元二次方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 ___________ .
【答案】x2-3x+2=0
【解析】
【分析】把方程化为ax2+bx+c=0的形式即可求解．
【详解】解：(x-2)(2x+1)=x2-4，
去括号得2x2+x-4x-2= x2-4，
移项得2x2+x-4x-2- x2+4=0，
合并同类项得x2-3x+2=0．
故答案为：x2-3x+2=0．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13. 已知直角三角形的三边长恰好是三个连续的偶数，则这个直角三角形的斜边长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键，首先设较小的边长为，表示出其余两边长，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设较小的边长为，则另一边长为，斜边长为，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
故斜边长为，
故答案为：10．
14. 把方程化成的形式，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可．
【详解】，
，
，即，
则，，
，
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形面积计算公式，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．
证明得到，再根据等高三角形面积比等于对应底边的比得，即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，，
，，
，
∵，
，
，
故答案为：．
16. 在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为______．
【答案】12
【解析】
【分析】作于H，交于P，如图，则，，，证明，然后利用相似比计算出即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【详解】解：作于H，交于P，如图，
则，，，
，
，
，
即，
，
即旗杆的高度为．
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）将方程化为，用直接开平方法求解即可；
（2）由，求得，再利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
或，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
18. 用合适的方法解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
，
，
，
∴，
∴．
19. 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，可证△ABC∽△EBD；
（2）先根据BA•BD=BC•BE，∠B=∠B，证明△BAE∽△BCD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边长比例可证明结论.
【详解】（1）证明：∵BA•BD=BC•BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA；
（2）证明：∵BA•BD=BC•BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴，
∵AE=AC，
∴，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB，
∴.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
详解】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：

由，得，解得．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
21. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？
【答案】（1）
（2）①；②6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键．
（1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可；
（2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；
②依题意得，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
【小问2详解】
①解：由题意知，每天可售出扇子把，
故答案为：；
②解：依题意得，，
整理得，，
解得，或，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
22. 阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
【答案】（1）4，18
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
【小问2详解】
解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．
（1）运动几秒时的面积为？
（2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
【答案】（1）P、Q同时出发，或后可使的面积为；
（2）不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解．
（1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解；
（2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果．
【小问1详解】
解：设后，可使的面积为．
由题意得，，，，
∴，
整理得：，
解得：，，
所以P、Q同时出发，或后可使的面积为．
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
整理可得：，
，该方程无实数解，