2025-2026学年天津市和平区益中学校九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年天津市和平区益中学校九年级上学期第一次月考数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．B．C．3D．以上都不对
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
3．下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A．B．C．4D．6
6．二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表：
若，则点所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C．D．
8．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
9．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．
11．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论：
①该抛物线的解析式为：；
②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m；
③当水面下降2m时，水面宽度增加了m．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
14．已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
15．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格．某种药经过两次降价，由每盒60元调至48.6元．则每次降价的百分率为 ．
16．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
17．已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是 ．
18．当时，的最小值是，最大值是，则m的值是 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
20．已知关于的方程：的一个根是，求的值以及方程的另一个根．
21．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的．（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半）
(1)梯形的中位线长是______m；
(2)甬道的宽应是多少米？
22．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点A，抛物线恰好经过“A、C”两点．
(1)判断点B是否在直线上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
23．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程．
24．启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
(3)要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值．
…
0
…
…
…
《天津市和平区益中学校2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：因为方程0是一元二次方程，
所以 ，
解得．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：方程整理成一般式为，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是，
故选：．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解．
【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
D、根的判别式，符合题意；
故选：．
4．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得．
【详解】解：∵方程的两个根为，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限．
【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为．
当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此．
当时，，代入函数得：
由和，
因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限．
故选：C．
7．B
【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程．
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意列方程得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．
8．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．
【详解】解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【详解】解：联立方程组得，
解得或，
一次函数与二次函数的交点为，
A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意；
B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意；
C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意；
D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
10．D
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，继而得到的关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，①错误．
∵时，，
∴，②错误．
∵抛物线对称轴为直线，时，
∴时，，③正确．
∵，
∴，
∴，
∴，得不到，故④错误．
∵时y取最大值，
∴，即，⑤正确．
故选：A．
12．C
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故①错误；
当水面宽度为时，即，把代入得：
．
原来水面宽时，则水面下降的高度为，
所以②正确．
当水面下降时，即，把代入得：
，则，解得，此时水面宽度为，
原来水面宽，水面宽度增加了，
所以③正确．
综上，正确结论②③，共2个，
故选：C．
13．四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案．
【详解】解：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
14．
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解．
【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，则两次降价后的价格为，由此列一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：，
解得，（不舍题意，舍去），
故每次降价的百分率为．
故答案为：．
16．2或6
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．
根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解．
【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6.
17．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键．
求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【详解】解∶直线中，当时，，
关于轴的对称点始终在直线的上方，
当时，，
，
解得，
的取值范围是，
故答案为∶ ．
18．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质得出抛物线开口向下和顶点坐标，进而可得在对称轴左侧，函数值单调递增，可得，，将代入求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴函数抛物线开口向下，对称轴为，
∴，
∴顶点坐标为，
∵最大值是，
∴，
∴，
∴在对称轴左侧，此时函数值单调递增，
∴，，
∴当时，
，
解得，
∵，
∴．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握因式分解和公式法求解是解题的关键．
（1）根据完全平方公式展开，移项因式分解求解即可；
（2）根据求根公式求解即可．
【详解】（1），
，
即,
解得：，．
（2），
，
，
方程有两个不同的根，则根为，
所以方程的解为，．
20．的值为，方程的另一个根为．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系，根据已知根，先求出另一根，再结合两根之和求出的值．
【详解】解：设方程的另一根为，
∵方程的一个根为，
∴，即，
∵，
∴，解得，
∴的值为，方程的另一个根为．
21．(1)70
(2)甬道的宽度为5米．
【分析】本题考查梯形的中位线、梯形的面积、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键：
（1）根据梯形的中位线的计算方法求解即可；
（2）设甬道的宽度为x，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵花坛上底的长为，下底长为，
∴梯形的中位线为：．
故答案为：70．
（2）解：设甬道的宽度为x，由题意可得：
，
解得：或（舍去）．
答：甬道的宽度为5米．
22．(1)点B在直线上，理由见解析
(2)，
(3)平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
（1）将点代入，求出一次函数解析式，再将代入判断即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，根据题意得：，由抛物线为与轴交点纵坐标为，得到，即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
∴点B在直线上；
（2）把，代入得：
，
解得：，；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线为与轴交点纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
23．(1)
(2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。
（1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数；
（2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。
【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，
高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为，
所以顶点A的坐标为，
那么上边缘抛物线设为。
又因为点在该抛物线上，将，代入可得：
解得：
所以上边缘抛物线的函数解析式为。
（2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5，
将其代入上边缘抛物线的函数解析式中，
可得：=
因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0，
所以该行人会被洒水车淋到水。
24．(1)；
(2)每件文具售价为元，最大利润元；
(3)元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式即可；
（）由（）得，再结合二次函数的性质即可求求解；
（）由（）的关系式，然后得方程，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由（）得，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵每件文具的售价不超过元，且是整数，
∴当时，有最大值，为（元），
答：每件文具售价为元，最大利润元；
（3）解：要使当天销售利润不低于元，即，
令，整理得，
解得：，，
∵，
∴当天销售单价所在的范围是．
25．(1)
(2)，最小值为
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、轴对称，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据二次函数的交点式进行解题；
（2）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，此时最小，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为：，
代入，，
有：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
，为等腰直角三角形，
∴，
过点作轴交于点，
则，，
故当取得最大值时，取得最大值，
设点，则，
则，
∴当时，取得最大值，
此时点，，
则轴，
又∵轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴也为的中线，
∴为的中点，
∴，即；
作点关于直线的对称点，
作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，
根据点的对称性，，，
则，
此时、、、四点共线，最小，
最小值为；
综上所述，当取得最大值时，，的最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
C
C
B
B
D
D
题号
11
12








答案
A
C