天津市第七中学2025~2026学年上册第二次月考九年级数学试题【附解析】

这是一份天津市第七中学2025~2026学年上册第二次月考九年级数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．4C．D．5
3．下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（ ）
A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．已知二次函数y＝2x ²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．－1≤y≤5B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5D．－2≤y≤1
7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）

A．B．C．D．
11．如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )

A．2－B．C．D．1
12．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．②③
二、填空题
13．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是 ．
14．边长为4cm的正六边形，它的内切圆与外接圆半径的比值是_____．
15．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留）
16．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．
17．如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则的面积为 ．
18．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．如图所示，已知的三个顶点的坐标分别为
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，得到．画出图形，并直接写出点的坐标．
21．如图，中，，，以为圆心的圆与相切于点，交延长线于点，连接，交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
22．某服装公司试销一种成本为每件50元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于80元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似地看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数表达式；根据题意判断：当取何值时，最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）
23．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cs37＝0.8，tan37≈0.75）
24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为．
（1）如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________；
（2）如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标；
（3）若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）．
25．已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
（3）点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】直接由特殊角的三角函数值代入计算即可
【详解】．
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】A．购买一张中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
【详解】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，
∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，
解得：x＝﹣1，y＝2，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】解：①当时，，解得：；
②当时，关于x的方程有实数根，
∴，
∴且，
综上所述，k的取值范围为：．
故选B．
6．【正确答案】C
【详解】先根据二次函数图象和性质可得:二次函数y＝2x ²－3在－1≤x≤2内有最小值,当,函数最小值是,再把代入二次函数解析式求函数值进行比较可得:当时,函数值最大,最大值是5,因此当－1≤x≤2时,y的取值范围是－3≤y≤5,因此正确选项是C.
7．【正确答案】C
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．
【详解】∵在中，为直径，
∴，
∵，
∴，
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．

11．【正确答案】C
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，

由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选C．
12．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上可得，根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断说法①错误；根据二次函数的对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即，由此即可判断说法②正确；根据二次函数的增减性即可判断说法③正确；先确定二次函数的解析式为，再将看作为二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断说法④正确．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，说法①错误；
由函数图象可知，当时，，
由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即，
∴，说法②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵、是抛物线上的两点，且，
∴，说法③正确；
由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，
∴二次函数的解析式为，
又∵为方程的两个根，
∴可看作为二次函数与直线的交点的横坐标，
结合函数图象可知，，说法④正确；
综上，说法正确的有②③④，
故选B．
13．【正确答案】
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是．
14．【正确答案】/
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向向正六边形的边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．
【详解】解：连接，，作于点G，
∵正六边形的边长为4cm，
∴正六边形的外接圆的半径4cm，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是（cm），
因而正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比为．
15．【正确答案】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积.
根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是.
16．【正确答案】600
【详解】解：∵﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴，
即飞机着陆后滑行600米才能停止.
17．【正确答案】
【分析】考查正方形性质、旋转的性质、等边三角形判定、三角函数的应用、三角形面积计算．关键识别为等边三角形，利用三角函数求，作高确定的高．易错旋转角度与等边三角形的关系判断错误，或作高时线段长度计算失误．
首先由旋转得，结合，证为等边三角形；再利用三角函数求，得的长度；过点作，分别交于点，点F，计算的长度；代入三角形面积公式计算的面积．
【详解】
正方形中，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴．
在中，，
∴．
过点作，分别交于点，点F，由正方形的性质可得：四边形是矩形，
∴．
∴的面积为：
18．【正确答案】①②④
【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，即，结论①正确；
平分，，
，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
，
，
，
，
即，结论③错误；
如图，过点作于点，连接，
平分，，，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
此时在中，，
即的最小值是，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②④.
19．【正确答案】（1），
（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得出结果；
（2）利用配方法解一元二次方程即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
20．【正确答案】（1）见详解
（2），见详解
【分析】（1）利用中心对称的性质分别写出，，的对应点，，坐标，再描点连线即可；
（2）根据旋转的性质即可将绕坐标原点逆时针旋转，得到，进而可以写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，由图可知的坐标为．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形勾股定理．关键连接，识别为直角三角形．遗漏连接切点与圆心的辅助线，导致角度关系分析错误．
（1）先连接，由切线性质得，结合证为直角三角形，再由圆周角定理求；
（2）利用直角三角形得，过C作，利用相似三角形求．
【详解】（1）
连接，因与相切于C，故．
，
在中，，则．
，．
，
．
（2）解：
过C作，
，
又，，
．
，
，，
，
由勾股定理得：，
．
．
又，
，
．
22．【正确答案】（1）
（2）当时，最大，最大为元
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）设与之间的函数解析式为，将和代入解析式计算即可得出结果；
（2）根据题意得出求与之间的函数表达式，再由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，
将和代入解析式可得，
解得：，
∴与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意可得：，
∵，且，
∴当时，最大，最大为元．
23．【正确答案】（3+4）米．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90．
∵在Rt△AED中，∠ADC＝37，
∴cs37＝，
∴DE＝4，
∵sin37＝，
∴AE＝3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90﹣∠ACE＝90﹣60＝30，
∴CE＝AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米．
24．【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标；
（2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解；
（3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点，
点，点，四边形是矩形，
，，，
，
由旋转可得，，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
.
（2）由旋转可得，，，，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，
，，
，
，，
．
25．【正确答案】（1），，
（2）
（3）点的坐标为，这个最小值为
【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可；
（2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可；
（3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴顶点坐标；
（2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴此时点E符合题意，
∵F为的中点，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
同理根据，可得直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点E的坐标为；
（3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为．