2025-2026学年天津市和平区第十九中学九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年天津市和平区第十九中学九年级上学期第一次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．
C．D．
4．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条．则这个航空公司共有飞机场（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实根B．有两个相等实根
C．无实根D．以上三种情况都有可能
6．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．y=3（x﹣3）2﹣3B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3D．y=3x2﹣6
7．等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ）
A．12B．12或9C．9D．7
8．若、、，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为和设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为则下列关于的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．与形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
11．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大B．二次函数中，当时，y有最大值0
C．a越大图像开口越小，a越小图像开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点
12．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积不能为．
其中正确的是（ ）个
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ．
14．调查发现：某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染 人．
15．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
16．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为 ．
17．已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
18．已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是 .

三、解答题
19．选择适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
21．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
22．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线与直线交于，两点．
(1)求，两点的坐标；
(2)若，请直接写出的取值范围___________．
24．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
(1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；
(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线下方抛物线上一动点，连接， ，求面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移 个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标．
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180
《天津市第十九中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
解得，
故选A．
2．A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】根据二次函数的定义，可得答案．
解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是一次函数，故本选项不符合题意；
D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数．
3．C
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个飞机场，根据题意得，然后解方程并检验是否符合题意即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设共有个飞机场，
根据题意得，，
解得：，（舍去），
答：这个航空公司共有飞机场个．
故选：．
5．C
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程没有实数根，
故选：．
6．A
【分析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】解：抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数的平移，解题关键是掌握平移变化规律：左加右减，上加下减.
7．A
【详解】方程分解因式得：(x−2)(x−5)=0，
解得：x=2或x=5，
当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去；
当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2=12.
故选A.
8．B
【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意先求出二次函数对称轴为，后利用对称性可知点的对称点为，再利用二次函数增减性即可得到本题答案．
【详解】解：∵的对称轴为，
∴点的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴时，随增大而减小，
∵、、，为二次函数的图象上的三点，
∵，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】根据增长率问题的等量关系列方程即可
【详解】解：设平均年增长率为，
∵2017年和2019年石油对外依存度分别为和，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
10．D
【分析】根据抛物线的形状只与a有关，相同，则抛物线的形状相同，可以得出答案．
【详解】解：∵对于二次函数，抛物线的形状只与a有关，相同，则抛物线的形状相同，
根据题意，形状就相同，
∴D选项符合题意，
应选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数图象的形状相同，则二次项系数的绝对值相等．
11．C
【分析】根据二次函数图像的性质解题即可．
【详解】解：当时a越大图像开口越小，a越小图像开口越大；
当时a越大图像开口越大，a越小图象开口越小；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟知图像性质是解题关键．
12．B
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键．
设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【详解】解：边长为，则边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，，
故①正确；
∵菜园面积为，
∴，
整理得，
解得或，
∵
∴的长有一个值满足菜园面积为，
故②错误；
设菜园面积为，
根据题意得，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
菜园面积不能为，
故③正确；
∴正确的结论有个，
故选：B．
13．m＞1
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得．
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
14．4
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮每人传染的人数为，根据3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，列出方程进行求解即可．
【详解】解：每轮每人传染的人数为，由题意，得：
，
解得或（舍去）；
答：每轮每人传染4人；
故答案为：4．
15．
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
将一般式转化为顶点式，即可得解．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，且过，然后代入求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线对应的函数表达式为，且过，
∴，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解．
【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
，
故答案为：．
18．5
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.
【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．

∵点P′在抛物线上，
∴P′F=P′E．
又∵点到直线之间垂线段最短，MF==2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．
故答案为5.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意证明，即可证明方程一定有两个实数根；
（2）根据，，把变形为：，即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
21．2m．
【分析】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
【详解】设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【点睛】考核知识点：二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键.
22．(1)
(2)点在函数图象上，的面积为6．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式，
得：，
解得．
∴二次函数的解析式为：；
（2）把代入解析式，可得：，
∴点在函数图象上．
当，，
解得：，
∴
∴．
23．(1)，两点的坐标分别是，；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，然后求出的值即可；
（）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
解得或，
∴，两点的坐标分别是，；
（2）解：由图可知，当时，的图象在图象的上方，则．
故答案为：．
24．(1)
(2)应定价100元
(3)135元
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出方程进行求解即可；
（3）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，确定二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，
由图表可知：在一次函数的图象上，
则：，解得：，
∴；
（2）解：由题意，得：，
解得，，
∵公司尽可能多让利给顾客，
∴应定价100元；
（3）解：由题意，得
，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为8450．
答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数解析式，一元二次方程，二次函数的解析式，是解题的关键．
25．(1)
(2)8
(3)或或，
【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；
（2）先得出抛物线的对称轴，作轴交直线于E，设，用表示出的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入得
，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）把代入中得：，
∴，
抛物线的对称轴l为，
∵点D与点C关于直线l对称，
∴，
∵，
设直线的解析式为；
∴，解得：，
∴直线AD的函数关系式为：，
作轴交直线于M，设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即点时，的面积最大，最大值为：8
（3）∵直线的函数关系式为：，
∴直线与轴正方向夹角为，
∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，
∵，，平移后的坐标分别为，，
设平移后的抛物线的解析式为
则，解得：，
∴平移后，
∴抛物线y1的对称轴为：，
∵，
∴，
设，，
∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴，∴
∴
②当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴，∴
∴
③当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴，∴
∴
∴或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
C
A
A
B
A
D
题号
11
12








答案
C
B