2025-2026学年河北省保定市竞秀区新秀学校九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年河北省保定市竞秀区新秀学校九年级上学期第一次月考数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
2．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，则∠BEA为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．55°
3．用配方法解方程，配方后可得（ ）
A．B．C．D．
4．张师傅应客户要求加工 4 个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对 4 个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是( )
A．四边形一定是平行四边形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．若四边形是矩形，则四边形是正方形
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2021B．2025C．0D．
9．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ）

A．B．5C．D．
11．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（ ）
A．1B．C．D．1或
12．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
二、填空题
13．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是
14．已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程的根，该等腰三角形的周长为 ．
15．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为 ．
16．如图，已知是正方形，是对角线上一点，延长，与于点，与的延长线交于点为的中点，连接，则、、的数量关系为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
19．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；

21．代数推理：
阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由．
22．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
(1)若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？
(3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由．
23．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：．
证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程：
【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由：
【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______．
24．【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”
【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______．
【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______．
【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可)
【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.11
0.24
0.39
0.56
0.74
0.96
1.19
1.44
1.71
新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．
深度思考中…
开启新对话
给发送消息
88深度思考（）联网搜索+
例题：求的最小值
解：
无论取何值，总是非负数，
即所以
所以：当时，有最小值，最小值为5
《河北省保定市新秀学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 》参考答案
1．C
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，然后因式分解解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
故选：C．
2．A
【分析】根据正方形的性质，可知AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据等边三角形的性质，可知AD＝AE，∠DAE＝60°，再由等量代换可得AB＝AE，∠BAE＝∠BAD +∠DAE＝150°，从而解出∠BEA＝15°．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵△ADE是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题关键之处在于利用正方形四边相等，四个角都等于的性质，以及等边三角形三边相等，三个角都等于的性质，得到是个顶角为等腰三角形，从而解出．
3．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解．利用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】根据菱形的判定定理可得出答案．
【详解】解：A．四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
B．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
C．不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；
D．两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】①当时，，解得：
②当时，关于x的方程有实数根
∴
∴且
综上所述，k的取值范围为：．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得：，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、分别为、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，则平行四边形为菱形，
当时，，则平行四边形是矩形，
若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形，
故不正确的选项是D，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是方程的实数根，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案．
【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大，
当时，，当时，，
因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是，
故选C．
10．C
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
11．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设这个数为x，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
这个数为1，
故选A．
12．B
【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
13．5
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，、是对角线，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：5．
14．17
【分析】先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边长关系进行判断即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：或，
当时，三边为2，2，5，不能构成三角形；
当时，三边为6，6，5，能构成三角形，
综上，该等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边长关系，掌握因式分解法求一元二次方程的解是关键．
15．
【详解】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE和△BAE中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=OD•DE=OE•DF，
∴DF=，OF=，
则D（，-）．
故答案为（，-）．
点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
16．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是通过证明全等三角形得到线段相等关系，再结合勾股定理推导结论．
先利用正方形性质和全等三角形判定证明、，得到等线段关系，再结合直角三角形斜边中线性质和勾股定理得出、、的数量关系．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
∵为的中点，，
，
，
在中，∴，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程的方法，熟练掌握各自的方法是解本题的关键．
（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可；
（3）用公式法解方程即可；
（4）用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
或，
，；
（3）解：，
，
，
，
，
，；
（4）解：，
，
，
，
，
，．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质.
（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证；
（2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解.
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，对角线与交于点O
，，，
，
，
菱形的面积
，
，
∵四边形是矩形，
．
19．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
20．丝绸条带的宽度为5cm
【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】设丝绸条带的宽度为，由题意得：
，
整理得：
，
， （不合题意，舍去），
答：丝绸条带的宽度为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．
21．(1)36，6
(2)，最小值为
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可；
（3）根据的值判断即可．
【详解】（1）由完全平方公式可得，
故答案为：；．
（2）
，
无论取何值，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为．
（3）由题意得：，
，
∴，
，
，
，
无论取何值，总是非负数，即，
∴，
∴的最小值为11，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的非负性，解题的关键是配方求最小值：把式子化为的形式，当时取得最小值为．
22．(1)80；1600
(2)每件工艺品售价应为55元
(3)利润不能到2000元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
（3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能．
【详解】（1）解：依题意得：销售量为：（件），
销售利润为：（元），
故答案为：；；
（2）解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元．
（3）解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
，
∴无解，
答：利润不能到2000元．
23．【推理证明】见解析；【探究问题】四边形为菱形，证明见解析；【拓展思考】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形、矩形及菱形的判定．
[推理证明]：依据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．
[探究问题]：结合题意四边形为平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
[拓展思考]：连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，，，利用外角定理设未知数、，列出方程即求出，即可得出答案．
【详解】解：[推理证明]∵点是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴为矩形，
∴，
[探究问题]
四边形是菱形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，为的中线，，为的中线
四边形为菱形．
拓展思考
连接，如图，
，点是的中点，
，
，，，
设，，
，，
故答案为：．
24．（1）；（2），；（3）互为倒数，（4），过程见解析；（5）．
【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义即可得出答案；
（2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可；
（3）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案；
（4）同（3）的方法求解；
（5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程的两根是，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解．
【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是，
故答案为：；
（2），
，
解得：，；
（3）∵时，
∴方程的两根为，，
方程的两根为，，
（4）∵
，
同理：
，
∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
故答案为：互为倒数，；
（5）解：关于的方程的两根为．
∵方程的两根是，
∴其“友好方程”的两根为．
，即，
将看作整体，则或，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
B
B
D
A
C
C
题号
11
12








答案
A
B