第03讲 平行线（3大知识点+5大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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知识点01：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
知识点02：平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点03：平行公理
过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
任何两点都是平行的,任何一点与任何一平面都是平行的;
过已知直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行;
过已知直线外一点没有一条直线与已知直线平行;
考点一：平面内两直线的位置关系
例1．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直
【答案】C
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
【变式1-1】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
，
故选：C．
【变式1-2】如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）
【答案】 ③ ⑤
【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键．
【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交；
对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交；
对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交；
对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交；
对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行．
故答案为：③；⑤．
【变式1-3】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
（1）若与没有公共点，则与 ；
（2）若与有且只有一个公共点，则与 ；
（3）若与有两个公共点，则与 ．
【答案】 互相平行 相交 重合
【变式1-4】如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上．
(1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方；
(2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离；
(3)点D是线段与网格线的交点，连结，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)；．
【分析】此题考查了作图平行线；作图垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念，
（1）根据作图-垂线结合题意画图即可求解；
（2）根据作图-平行线结合题意画图即可求解；
（3）根据同旁内角的定义、线段的比较、角结合题意填空即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）的同旁内角为．
∵，
∴，
与互补的角为．
由图可知，．
故答案为：；．
考点二：立体图形中平行的棱
例2.如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．
【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．
【变式2-1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可．
【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC，
∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF，
∴与棱AD平行的平面共有2个．
故选择：B．
【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键．
【变式2-2】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
【答案】 ， ， ，
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可．
【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，
【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键．
【变式2-3】如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB．
【答案】 // ⊥
【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可.
【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直.
故答案为∥，⊥.
【点睛】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外，其中垂直是相交的特例)．
【变式2-4】如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．

【答案】见解析
【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可．
【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．

考点三：用直尺、三角板画平行线
例3.小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案．
【详解】解：由图可知，，与为同位角，
∴，
∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【变式3-1】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③B．④②①③C．④②③①D．④③①②
【答案】B
【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【变式3-2】下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定．
【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③，
故答案为：①②③．
【变式3-3】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）

【答案】④②①③
【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答；
【详解】解：正确的步骤是：
④用三角尺的一边贴住直线a；
②用直尺紧靠三角尺的另一边；
①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；
③沿三角尺的边作出直线b；
故答案为：④②①③；
【变式3-4】如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键．
（1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可；
（2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可；
（3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可；
【详解】（1）
（2）
（3）
考点四：平行公理的应用
例4.下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（ ）．
A．①②B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键．
根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可．
【详解】解：①若，，则，故本项符合题意；
②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意；
③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意；
故选：C．
【变式4-1】如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【变式4-2】如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ．
【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行
【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．
【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行，
故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行．
【变式4-3】三条直线，则 ，理由是 ．
【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行即可得到答案．
【详解】解：∵直线，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
即三条直线，则，理由是平行于同一条直线的两条直线平行．
故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行
【点睛】此题考查了平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键．
【变式4-4】按要求完成下列问题，其中画图不写作法．
(1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________．
(2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？
(3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子．
【答案】(1)图见解析；垂线段最短
(2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
(3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短
【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义．
（1）作于D即可；
（2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可；
（3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短．
【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求，
依据是：垂线段最短．
（2）解：如图，直线即为所求，
过点画出的平行线，这样的平行线只有1条，
理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
（3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短．
考点五：平行公理推论的应用
例5.下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可．
【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确；
所以正确的有①，共个．
故选：A．
【变式5-1】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论．
【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误．
垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确；
故选：D．
【变式5-2】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ．
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上．
【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知）
，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【变式5-3】已知a，b，c为不重合的三条直线，，，则．理由是 ．
【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【详解】解：∵，，（已知），
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【变式5-4】在如下图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点（网格线交点）上，请按要求画图并回答问题．
(1)过点B画直线，过点C画直线；
(2)过点D画直线；
(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【详解】解：（1）如图，BE，CF即为所求．
（2）如图，MN即为所求．
（3）．理由如下：因为，所以．
1．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A．与是内错角B．与是对顶角
C．与是同位角D．与是同旁内角
【答案】C
【分析】根据内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：A. 与是内错角，本选项正确，不符合题意，
B. 与是对顶角，本选项正确，不符合题意，
C. 与不是同位角，本选项错误，符合题意，
D. 与是同旁内角，本选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义，正确理解定义是解题的关键．
2．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行B．一定平行
C．一定互相垂直D．可能相交或平行
【答案】D
【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交．
根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，
故选：D．
3．下列命题中，①互补的角是邻补角②同位角相等③对顶角相等④过一点有且只有一条直线与已知直线平行⑤在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直⑥互相垂直的两条线段一定相交．假命题有（ ）个
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】根据邻补角，同位角的概念，对顶角和平行线的性质，垂线公理逐一判断真假命题即可．
本题考查了邻补角，同位角的概念，对顶角和平行线的性质，真假命题．
【详解】解：①互补的角不一定是邻补角，假命题；
②同位角不一定相等，假命题；
③对顶角相等，正确，真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，假命题；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，假命题
⑥互相垂直的两条线段不一定相交，假命题．
故选：C．
4．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
5．“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（ ）
A．m，n，l是直线，若，，则
B．m，n，l是直线，若，，则
C．若与互余，与互余，则与互余
D．若与互补，与互补，则与互补
【答案】A
【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性”
B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性”
C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性”
D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性”
故选：A．
6．如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得．
【详解】解：∵，且、经过点C，
∴过外一点C的直线和都平行于直线，
∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，
∴点P，C，Q在一条直线上，
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
7．如图，，与互余，，则等于
【答案】/155度
【分析】设的对顶角为，根据得到，求得，再根据已知，平行线的性质解答即可．
本题考查了对顶角性质，平行线的性质，互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：设的对顶角为，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
∵与互余，
∴；
∵，
∴；
∴；
故答案为：．
8．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点N，P，M在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
9．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个．
【答案】1
【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确；
④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误；
综上所述，正确的为③，共个，
故答案为：．
10．观察如图所示的长方体．
（）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ；
（）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线．
【答案】 ； ； ； 不是； 同一平面．
【分析】（）由平行线及垂线定义可得答案；
（）由平行线定义可得答案；
本题考查了平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题的关键．
【详解】解：（）∵该图是长方体，
∴，，，，
故答案为：；；；；
（）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内，
∴它们不是平行线，
∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
故答案为：不是；同一平面．
11．妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线；
(2)过点画的平行线（点在格点上）；
(3)在射线上取一点，画线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离．
（1）根据线段的定义作图即可；
（2）根据格点特点画平行线即可；
（3）根据格点特点，过点B作的垂线即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，线段即为所求．
12．如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查画平行线：
（1）借助三角板和直尺画平行线即可；
（2）借助三角板和直尺画平行线即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
13．如图，C是线段外一点，按要求画图：
(1)画射线；
(2)过点C画直线；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键．
（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图．
【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求；
（2）解：如图所示：直线即为所求；
14．如图，P是的边上一点，
(1)过点P画的平行线；
(2)过点P画的垂线，垂足为点N；
(3)点P到边的距离是线段________的长度；
(4)用“”比较线段，的大小为：________；理由是________________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)，垂线段最短
【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键．
（1）根据平行线的画法，画出图形，即可求解；
（2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解；
（3）根据线段的长是点P到的距离，即可求解；
（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，即可求解．
【详解】（1）解∶如图， 即为所求，
；
（2）解∶如图，即为所求；
（3）解∶ 点P到边的距离是线段的长度，
故答案为∶ ；
（4）解∶ ，
理由如下，
∵点到直线，垂线段最短，
∴，
故答案为∶ ，垂线段最短．
15．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
(1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E．
(2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G．
【发现】与的位置关系为___________．
【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________．
【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“