2026湖南省部分名校高一上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2026湖南省部分名校高一上学期10月联考数学试题含解析，文件包含湖南省部分名校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题原卷版docx、湖南省部分名校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由于，，
则.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是，．
故选：C
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由得到，通过平方可得，由，可得恒成立，即可判断.
【详解】由，得，平方可得，
由，可得到恒成立，即或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过作差法即可比较大小.
【详解】由题意有，
因为，
所以，，
所以，即．
故选：B
5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（ ）
A. 小于10gB. 等于10g
C. 大于10gD. 大于或等于10g
【答案】C
【解析】
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得黄金大于.
故选：C
6. 已知集合，，则集合中所含元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，由列举法列举出集合中所含元素，即可得出结果.
【详解】因为集合，
所以共含有10个元素.
故选：D.
7. 若不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合不等式的解集是的子集，即可求解.
【详解】由题意，原不等式，
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即；
当时，不等式的解集为，此时满足不等式的解集是的子集；
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ）
A. B. 0C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可.
【详解】根据题意，已知，则，
又由，可知或3，即方程有1个根或3个根；
由，可得或，
若，可得或，
当时，，，符合题意；
当时，对应的根为0和，此时有两类情况：
①有两等根且根不为0和，由，解得，
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意.
②当是的根时，解得；
若，则，，符合题意；
若，则， ，符合题意.
综上，可得a可取的值为0，，．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. ，为偶数B. ，
C. 若xy为无理数，则x，y为无理数D. 是的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，分解因式后分析奇偶性即得；对于B，C通过举反例即可排除；对于D，利用集合的包含关系和并集定义易得.
【详解】对于A，因，且，与必一奇一偶，故为偶数，则A正确；
对于B，当时，故 B错误；
对于C，若取，， 为无理数，但是有理数，故C错误；
对于D，由可得或是的真子集，即得；
又由可得或是的真子集，即有，故D正确.
故选：AD.
10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的解集为
C. 的解集为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三个二次的关系，根据不等式的解集确定参数范围和数量关系，再结合各选项逐一推理判断即可.
【详解】由条件可知，且关于x的方程有和3两个实根，
由韦达定理可得，即，.
对于A，因，可得，故A正确；
对于B，由可得，即，故B正确；
对于C，由可得，即，解得，故C错误；
对于D，由题意，因，则，即得，故D正确．
故选：ABD.
11. 若，，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最大值为2
C. 的最小值为D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ABD，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可；对于C，化简得，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】对于A，由，，则，
即，当且仅当时等号成立，
则的最大值为1，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2，故B错误；
对于C，由，得，
则，
当时，取得最小值，故C正确；
对于D，由，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数有意义，可得一元二次不等式，求解即得函数定义域.
【详解】由函数有意义,可得解得或,
故函数的定义域为：．
故答案为：.
13. 命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到“，使得恒成立”为真命题，根据的取值分类讨论，即可求得的取值范围.
【详解】因为P是假命题，所以是真命题，即，使得恒成立．
当时，结合二次函数的图象可知不能恒成立；
当时，不等式恒成立；
当时，需使，解得.
综上：可得k的取值范围为．
故答案为：.
14. 已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意方程只有一个解，进而分，两种情况讨论求解即可.
【详解】根据题意，方程只有一个解，
当时，方程为，则，解得或（舍去）；
当时，方程化为，
由，得，此时，满足题意.
综上所述，a的可能取值集合为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知非空集合，．
（1）当时，求；；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交并补运算定义和德摩根定律即可求得结果；
（2）由条件推得A是B的真子集，且，列出不等式组，求解即得.
【小问1详解】
当时，，又，
则，
故或；
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，且，
则有，解得，
故实数a的取值范围为．
16. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．

（1）设m，试用x表示AP，并求x的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？
【答案】（1），
（2）m时，S取得最小值，最小值2400m2
【解析】
【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可；
（2）依题列出S的表达式，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.
【小问1详解】
依题意可得，则有，
即，可得，因此．
又要求AP的长不小于50m且不大于100m，即，
解得，即，；
【小问2详解】
由图易知，
所以
由基本不等式可得；
当且仅当时，即时，等号成立，此时S取得最小值2400，
因此当m时，S取得最小值，最小值为2400．
17. 求下列关于x的不等式的解集：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）答案见解析.
【解析】
分析】（1）化成一元二次不等式求解.
（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式.
【小问1详解】
原不等式化为，解得或，
所以原不等式的解集为或.
【小问2详解】
不等式，
当时，，解得；
当时，原不等式化为，解得或，
当时，原不等式化为，
当时，解得；当时，原不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18. 已知方程，求m为何值时：
（1）方程有一个正根一个负根；
（2）方程两根均大于1；
（3）方程在内有实数根．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得；
（2）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得；
（3）由题意，方程在内有实数根包括在内有且仅有一个根和在内有两个根两类情况，结合函数图象考虑端点的函数值，分别列出不等式组，求解即得.
【小问1详解】
设函数，易知该函数的图象开口向上，对称轴为：，
要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和轴的正负半轴各有一个交点，
如图需使，解得，
故的取值范围为；
【小问2详解】
要使方程的两根均大于1，如图需使，解得，
故的取值范围为；
【小问3详解】
因，，
方程内有实数根包括以下两类情况：
①方程在内有且仅有一个根时，若端点值不为0，由可得；
若端点值为0时，则或，当时，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意），故得；
② 方程在内有两个根时，如图需使，
解得：，
综上，可得的取值范围为.
19. 请在下列条件中，分别求出t的取值范围．
（1），使得；
（2），使得；
（3）且满足，使得．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先由和分别求出的范围，再由题意得，即可求得t的取值范围；
（2）根据题意，取，，可使恒成立，故只需区间有意义，即得参数范围；
（3）根据题意，分为和两类情况，通过赋值及利用不等式的性质放缩，推理验证可得t的取值范围.
【小问1详解】
由可得，则，
又由，可得，
因，使得，
则有，即得，解得；
【小问2详解】
由题意，令，，则恒成立，故只需即可，即；
【小问3详解】
① 当时，，因，
令，则恒成立，可得，又，则，
而当时，令，因，则，取，则成立；
② 当时，令，则，可得；
而当时，令，，则恒成立
综上，．