北师大版（2024）八年级上册数学第1章《勾股定理》单元检测卷（含答案解析）

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北师大版（2024）八年级上册数学第1章《勾股定理》单元检测卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．下列各组数据中，是勾股数的是（    ）A．，，B．C．D．6，8，102．已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（   ）A．20B．15C．10D．4003．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　）A．B．C．D．4．公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ）A．15米B．110米C．72米D．120米5．如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ）A．B．C．D．6．观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（   ）A．245B．259C．336D．3507．松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为，若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（    ）米． A．2B．5C．5.4D．3.68．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ）A．10米B．12米C．16米D．20米9．如图，在直角∆ABC中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ）A．6B．9C．10D．1210．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）．A．36B．42C．48D．52二、填空题11．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ．12．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ．13．如图，商场（点）距公路（直线）的距离（）为，在公路上有一车站（点），车站距商场（）为，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点），要求停靠站到商场到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（）的长为 14．如图，在直角三角形ABC中，，把∆ABC沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ．15．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m．16．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ．三、解答题（9小题，共72分）17．求下图中字母所代表的正方形的面积．其中，18．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边．(1)已知，，求c的长；(2)已知，，求a的长；19．如图，一艘轮船从出发，自西向东航行，开往距它海里的处，海中有一个小岛，该岛周围海里内有暗礁，已知相距海里，相距海里，你认为轮船在持续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．20．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值．21．阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．(1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数．(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值．22．下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，．(1)求摩天轮到淘气堡的距离；(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离．23．综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动： 【概念理解】（1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）；【问题应用】（2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________．【性质探究】（3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明．24．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角∆ABC中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系；【模型应用】（2）如图2，在等腰直角∆ABC中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，．①求的长；②如图3，延长，交于点，求的长度．25．【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在∆ABC中，已知，求证：．证明：作的平分线交于点D．∴．在和中，∵，∴，∴．结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形接着出示了这样一个问题：如图1，在∆ABC中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答．如图4，在∆ABC中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：；【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长．参考答案一、选择题1．D【分析】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义．根据勾股数的定义，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；C、，无法构成三角形，故本选项不符合题意；D、∵6，8，10是正整数，且满足，∴6，8，10是勾股数，故本选项符合题意；故选：D2．C【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得，再由三边的平方和为200，得，根据两式即可求出斜边的长．【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据勾股定理得：，∵，∴，∴，∴（舍去负值）故选：C．3．B【分析】本题考查勾股定理的应用．高是尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理得，，故选：B．4．C【分析】本题考查了三角形三边关系及勾股定理的实际应用，解题的关键是根据“近似垂直”确定长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项．【详解】解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为米、米，根据勾股定理，斜边米（理论值）．因为是近似垂直， 长度接近米，选项中米符合．故选：C ．5．D【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论．【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小，由题意得：，，则筷子露出杯口部分长度的最小值为，故选：D．6．C【分析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为，斜边为，其中，解得，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理是解题关键【详解】解：根据题意得： ，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边，∵已知一条直角边为14，对应，解得，∴另一条直角边：，∴斜边：，∴，∴三角形为直角三角形，∴，故选：C7．A【分析】本题先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，再求出风筝下降后新的直角三角形的斜边长度，最后通过两者的差值得到应回收线的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：在中，，风筝下降后，新的长度为此时在新的直角三角形中，斜边长度为应回收线的长度为故选：．8．D【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．【详解】解：如图，∵底面周长约为8米，柱身高约12米，∴米，（米），\∴（米），则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米），故选：D．9．A【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解．【详解】解：，，，，根据折叠的性质，，，在中，设，则，根据勾股定理得解得，的面积，故选：．10．C【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键．根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于．【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，∴正方形A的面积为，正方形B的面积为．由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4．根据勾股定理可得：．∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4；∴图①中所有正方形的面积和．同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积，∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4．∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12．即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12．同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加．同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加；4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加；……∴每增加一次操作，面积就增加4，∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为当时，图中所有正方形的面积和为．故选C．二、填空题11．13【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键．设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设第三个数为，分两种情况：①为最大数时，，解得：（不是整数，舍去）；②为最大数时，，解得：（负值已舍去）；综上所述，第三个勾股数是．故答案为： ．12．6，8，10（答案不唯一）【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可．【详解】解：∵，∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一），故答案为：6，8，10（答案不唯一）．13．【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．用勾股定理可得的长，根据线段之间的数量关系，结合勾股定理计算即可得的长．【详解】解：根据题意可知，在中，，，∴，设，则，，在中，，解得，，故答案为：．14．【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：把∆ABC沿直线折叠，，，，，设，则，在中，，即，解得：，．故答案为：．15．10【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理．设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设，,∴，由勾股定理得即，解得，∴，故答案为：10．16．或6【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，如图，当点P在线段上时，由折叠的性质得：，∴，设，则，在中，，∴，解得：，即；如图，当点P在线段的延长线上时，由折叠的性质得：，∴，设，则，在中，，∴，解得：，即；综上所述，的长为或6．故答案为：或6．三、解答题17．解：（1）的边长为直角三角形的斜边，则的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36和64，的面积；（2）由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和，∴，则．18．（1）解：，，，；（2）解：，，，19．解：如图所示，过点作于点，根据题意可知，海里，海里，海里，∴设，则海里，∵，∴在中，，在中，，∴，解得，，∴，∵岛周围海里内有暗礁，，∴轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险．20．解：如图，连接，由题意可知：，，，．在直角和中，，即，，∴．21．（1）解：当，时，代入勾股数生成公式，得，，．对应的勾股数是．（2）解：根据题意得，，．．又，m，n都是正整数，，或，．当，时，，不符合题意；当，时，，，符合题意．∴，．22．（1），．，，．，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上，．答：摩天轮到淘气堡的距离为（2）；，，，，答：淘气堡到旋转木马的距离为60m．23．（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是“垂美四边形”，故答案为：是；（2）解：∵四边形的面积，，故答案为：；（3）解：，理由如下，证明：在中，，在中，，在中，，在中，，∴，，∴．24．解：（1）、与之间满足的数量关系为：；理由如下：由题意得：，∴；∵，∴，∴，∵，∴；（2）①在等腰直角ABC中，，，，            于点，于点，，，，            在和中，，，，        ；        ②设，在中，    在中，    在中，    ，解得        25．（1）①证明：在线段上截取，使，连接，如图2所示：在∆BDE和中，，∴，∴，∴，∴；又∵，∴，∴，∴，∴；②证明：过点E作，交的延长线于点M，如图3所示：∴，在和中，，∴，∴，同理可得，又∵，∴，由题设结论得：，∴；（2）证明：延长到H，使，连接，如图4所示：∵D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，由题设结论得：，∴；（3）解：过点C作，交的延长线于点K，如图5所示：∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和∆BDE中，，∴，∴，∴，在中，，由勾股定理得：．勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长．勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且．例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数．